Упростите: 5(2a + 1) – 3

4. Упростите выражение: $$5(2a + 1) - 3$$ Раскрываем скобки: $$10a + 5 - 3$$ Приводим подобные члены: $$10a + 2$$ **Ответ: $10a + 2$** 5. Вынесите общий множитель за скобки $18a^3 + 6a^2$ Найдём наибольший общий делитель для $18$ и $6$: это $6$. Найдём наименьшую степень $a$: это $a^2$. Выносим $6a^2$ за скобки: $$6a^2(3a + 1)$$ **Ответ: $6a^2(3a + 1)$** 6. Упростите выражение: $$\frac{(3^4)^3 \cdot 3}{3^3 \cdot 3^{10} \cdot 3^4}$$ Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ и $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $$\frac{3^{4 \cdot 3} \cdot 3^1}{3^{3+10+4}}$$ $$\frac{3^{12} \cdot 3^1}{3^{17}}$$ $$\frac{3^{12+1}}{3^{17}}$$ $$\frac{3^{13}}{3^{17}}$$ Используем свойство $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$: $$3^{13-17}$$ $$3^{-4}$$ Что можно записать как: $$\frac{1}{3^4} = \frac{1}{81}$$ **Ответ: $\frac{1}{81}$** 7. Упростите выражение $(x-6)^2 - 2x(-3x-6)$. Раскрываем скобки: $(x-6)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2 = x^2 - 12x + 36$. Раскрываем вторую часть: $-2x(-3x-6) = (-2x) \cdot (-3x) + (-2x) \cdot (-6) = 6x^2 + 12x$. Собираем все вместе: $$x^2 - 12x + 36 + 6x^2 + 12x$$ Приводим подобные члены: $$(x^2 + 6x^2) + (-12x + 12x) + 36$$ $$7x^2 + 0x + 36$$ $$7x^2 + 36$$ **Ответ: $7x^2 + 36$** 8. Решите уравнение: $5y + 2(3-4y) = 2y + 21$ Раскрываем скобки: $$5y + 6 - 8y = 2y + 21$$ Приводим подобные члены в левой части: $$(5y - 8y) + 6 = 2y + 21$$ $$-3y + 6 = 2y + 21$$ Переносим члены с $y$ в одну сторону, числа — в другую: $$-3y - 2y = 21 - 6$$ $$-5y = 15$$ Делим обе части на $-5$: $$y = \frac{15}{-5}$$ $$y = -3$$ **Ответ: $y = -3$** 9. Решите уравнение: $(x-2)^2 + 8x = (x-1)(x+1)$ Раскрываем скобки в левой части: $(x-2)^2 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = x^2 - 4x + 4$. Раскрываем скобки в правой части по формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$: $(x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$. Получаем уравнение: $$x^2 - 4x + 4 + 8x = x^2 - 1$$ Приводим подобные члены в левой части: $$x^2 + (-4x + 8x) + 4 = x^2 - 1$$ $$x^2 + 4x + 4 = x^2 - 1$$ Переносим все члены с $x$ в одну сторону, числа — в другую. Замечаем, что $x^2$ есть в обеих частях и можно сократить: $$4x + 4 = -1$$ $$4x = -1 - 4$$ $$4x = -5$$ Делим обе части на $4$: $$x = -\frac{5}{4}$$ $$x = -1.25$$ **Ответ: $x = -1.25$**