Задание 40. ПРОВЕРЬТЕ СЕБЯ. Вставьте пропущенное слово/слова. 1) В прямоугольном треугольнике ________ гипотенузы равен сумме ________ катетов.

1. В прямоугольном треугольнике _квадрат_ гипотенузы равен сумме _квадратов_ катетов. 2. Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный. 3. Египетский треугольник – это треугольник со сторонами _3, 4, 5_. 4. _Теорема Пифагора_ – это важнейшая теорема геометрии. 5. По теореме Пифагора гипотенуза равна сумме катетов. **Нет** *Перевод: According to the Pythagorean theorem, the hypotenuse is equal to the sum of the legs. No* 6. Квадрат гипотенузы всегда больше квадрата катета. **Да** *Перевод: The square of the hypotenuse is always greater than the square of a leg. Yes* 7. Квадрат катета может быть больше квадрата гипотенузы. **Нет** *Перевод: The square of a leg can be greater than the square of the hypotenuse. No* 8. Треугольник со сторонами 6, 8, 10 – прямоугольный. **Да** *Перевод: A triangle with sides 6, 8, 10 is a right triangle. Yes* 9. Если в прямоугольном треугольнике $ABC$ $AB^2 = AC^2 + BC^2$, то $AB$ – _гипотенуза_. 10. В треугольнике $ABC$: $\angle C = 90^\circ$. Найдите периметр треугольника, если $AC = 20$, $BC = 15$. Используем рисунок. Для начала найдем гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$AB^2 = 20^2 + 15^2$$ $$AB^2 = 400 + 225$$ $$AB^2 = 625$$ $$AB = \sqrt{625}$$ $$AB = 25$$ Теперь найдем периметр $P$: $$P = AC + BC + AB$$ $$P = 20 + 15 + 25$$ $$P = 60$$ **Ответ: 60** 11. В треугольнике $PKM$: $\angle M = 90^\circ$. Найдите периметр треугольника, если $PK = 18$, $KM = 12$. Используем рисунок. Для начала найдем катет $PM$ по теореме Пифагора: $$PK^2 = PM^2 + KM^2$$ $$18^2 = PM^2 + 12^2$$ $$324 = PM^2 + 144$$ $$PM^2 = 324 - 144$$ $$PM^2 = 180$$ $$PM = \sqrt{180}$$ $$PM = \sqrt{36 \cdot 5}$$ $$PM = 6\sqrt{5}$$ Теперь найдем периметр $P$: $$P = PK + KM + PM$$ $$P = 18 + 12 + 6\sqrt{5}$$ $$P = 30 + 6\sqrt{5}$$ **Ответ: $30 + 6\sqrt{5}$** 12. В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($AB$ – гипотенуза), $AB = 26$, $BC = 24$, $AC = 10$. Определите, является ли данный треугольник пифагоровой тройкой. В случае положительного ответа укажите длину гипотенузы. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$ $$26^2 = 10^2 + 24^2$$ $$676 = 100 + 576$$ $$676 = 676$$ Так как $AB^2 = AC^2 + BC^2$, треугольник является прямоугольным. Стороны $10, 24, 26$ образуют пифагорову тройку. Гипотенуза равна $26$. **Ответ: Да, является. Гипотенуза = 26**