Докажите, что $MA = MB = MC$, если треугольник $ABC$ правильный, точка $O$ — его центр, прямая $OM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Найдите $MA$, если $AB = 6$ см, $MO = 2$ см.

1. Докажем, что $MA = MB = MC$. Поскольку треугольник $ABC$ правильный, его центр $O$ является точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Также $O$ является центром описанной и вписанной окружностей. Следовательно, расстояния от центра до вершин равны: $OA = OB = OC$. Прямая $OM$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это значит, что $OM$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $O$. В частности, $OM \perp OA$, $OM \perp OB$, $OM \perp OC$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle MOA$, $\triangle MOB$ и $\triangle MOC$. У них: * Катет $OM$ — общий. * Катеты $OA = OB = OC$ (как радиусы описанной окружности правильного треугольника). По теореме Пифагора: $MA^2 = OM^2 + OA^2$ $MB^2 = OM^2 + OB^2$ $MC^2 = OM^2 + OC^2$ Так как правые части этих равенств равны, то $MA^2 = MB^2 = MC^2$, откуда следует, что $MA = MB = MC$. 2. Найдем $MA$. Для правильного треугольника со стороной $AB = a$, радиус описанной окружности $R$ (в нашем случае $OA$) вычисляется по формуле: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$ Подставляем $a = 6$ см: $OA = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см. Теперь, используя прямоугольный треугольник $\triangle MOA$ и теорему Пифагора: $MA^2 = OM^2 + OA^2$ $MA^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2$ $MA^2 = 4 + (4 \times 3)$ $MA^2 = 4 + 12$ $MA^2 = 16$ $MA = \sqrt{16}$ $MA = 4$ см. **Ответ:** $MA = 4$ см.