Выразите вектор $\vec{DO}$ через векторы $\vec{a}=\vec{ED}$ и $\vec{b}=\vec{EF}$, если точка $O$ — середина медианы $EG$ треугольника $DEF$.

1. Точка $O$ — середина медианы $EG$ треугольника $DEF$. Значит, $\vec{EO} = \vec{OG} = \frac{1}{2} \vec{EG}$. 2. Медиана $EG$ соединяет вершину $E$ с серединой стороны $DF$. То есть, точка $G$ — середина $DF$. 3. Выразим вектор $\vec{EG}$ через векторы сторон треугольника $DEF$. По правилу треугольника: $$ \vec{EG} = \vec{ED} + \vec{DG} $$ Так как $G$ — середина $DF$, то $\vec{DG} = \frac{1}{2} \vec{DF}$. $$ \vec{DF} = \vec{DE} + \vec{EF} $$ Мы знаем, что $\vec{ED} = \vec{a}$, значит $\vec{DE} = -\vec{a}$. И $\vec{EF} = \vec{b}$. $$ \vec{DF} = -\vec{a} + \vec{b} $$ Тогда $\vec{DG} = \frac{1}{2} (-\vec{a} + \vec{b})$. $$ \vec{EG} = \vec{a} + \frac{1}{2} (-\vec{a} + \vec{b}) = \vec{a} - \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b} $$ 4. Теперь выразим $\vec{DO}$ через векторы $\vec{ED}$ и $\vec{EF}$. $$ \vec{DO} = \vec{DE} + \vec{EO} $$ Мы знаем, что $\vec{DE} = -\vec{a}$. А $\vec{EO} = \frac{1}{2} \vec{EG}$. $$ \vec{EO} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}) = \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} $$ Подставляем это в выражение для $\vec{DO}$: $$ \vec{DO} = -\vec{a} + (\frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}) $$ $$ \vec{DO} = -\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} $$ $$ \vec{DO} = (-\frac{4}{4} + \frac{1}{4})\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} $$ $$ \vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b} $$ **Ответ:** $\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$