Выразите вектор DO через векторы a = ED и b = EF, если точка O — середина медианы EG треугольника DEF.

Дано: Треугольник $DEF$. $EG$ — медиана треугольника $DEF$. $O$ — середина медианы $EG$. $\vec{a} = \vec{ED}$ $\vec{b} = \vec{EF}$ Найти: $\vec{DO}$ через векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Решение: 1. Так как $EG$ — медиана треугольника $DEF$, то $G$ — середина стороны $DF$. Значит, $\vec{EG} = \frac{1}{2}(\vec{ED} + \vec{EF})$. Подставляем заданные векторы: $$\vec{EG} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$$ 2. Точка $O$ — середина медианы $EG$. Следовательно, $\vec{EO} = \frac{1}{2}\vec{EG}$. Подставляем выражение для $\vec{EG}$: $$\vec{EO} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})$$ 3. Для нахождения вектора $\vec{DO}$ воспользуемся правилом треугольника: $$\vec{DO} = \vec{DE} + \vec{EO}$$ 4. Вектор $\vec{DE}$ противоположен вектору $\vec{ED}$, то есть $\vec{DE} = -\vec{ED} = -\vec{a}$. 5. Подставляем выражения для $\vec{DE}$ и $\vec{EO}$ в формулу для $\vec{DO}$: $$\vec{DO} = -\vec{a} + \frac{1}{4}(\vec{a} + \vec{b})$$ $$\vec{DO} = -\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$ $$\vec{DO} = -\frac{4}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$ $$\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$$ **Ответ:** $\vec{DO} = -\frac{3}{4}\vec{a} + \frac{1}{4}\vec{b}$