1. Стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см. Найдите его диагональ.

1. Стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см. Найдите его диагональ. Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (по 90 градусов). Диагональ в прямоугольнике делит его на два прямоугольных треугольника. Длину диагонали можно найти по теореме Пифагора. Пусть стороны прямоугольника $a = 12$ см и $b = 9$ см, а диагональ $d$. Тогда по теореме Пифагора: $$d^2 = a^2 + b^2$$ $$d^2 = 12^2 + 9^2$$ $$d^2 = 144 + 81$$ $$d^2 = 225$$ $$d = \sqrt{225}$$ $$d = 15$$ см **Ответ: 15 см** 2. В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 15 см и 9 см, а большее основание — 20 см. Найдите площадь трапеции. **Допущение: Меньшая боковая сторона является высотой трапеции.** Пусть $a$ — большее основание, $b$ — меньшее основание. Высота $h$ прямоугольной трапеции равна одной из боковых сторон. Вторая боковая сторона является наклонной. Так как боковые стороны равны 15 см и 9 см, а трапеция прямоугольная, то меньшая боковая сторона (9 см) — это высота. Наклонная боковая сторона равна 15 см. Большее основание $a = 20$ см. Для нахождения площади трапеции нам нужно знать оба основания и высоту. Пусть $h = 9$ см (высота). Пусть $c = 15$ см (наклонная боковая сторона). Пусть $a = 20$ см (большее основание). Проведём высоту из вершины тупого угла к большему основанию. Получится прямоугольный треугольник. Один его катет равен высоте (9 см), гипотенуза равна наклонной боковой стороне (15 см). Найдем второй катет $x$ (это часть большего основания) по теореме Пифагора: $$x^2 + h^2 = c^2$$ $$x^2 + 9^2 = 15^2$$ $$x^2 + 81 = 225$$ $$x^2 = 225 - 81$$ $$x^2 = 144$$ $$x = \sqrt{144}$$ $$x = 12$$ см Теперь мы можем найти меньшее основание $b$. Оно равно разности между большим основанием и найденным катетом $x$. $$b = a - x$$ $$b = 20 - 12$$ $$b = 8$$ см Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{a + b}{2} \cdot h$$ $$S = \frac{20 + 8}{2} \cdot 9$$ $$S = \frac{28}{2} \cdot 9$$ $$S = 14 \cdot 9$$ $$S = 126$$ см$^2$ **Ответ: 126 см$^2$** 3. В треугольнике две стороны равны 12 см и 8 см, а угол между ними 60°. Найдите площадь треугольника. Пусть даны две стороны треугольника $a = 12$ см, $b = 8$ см и угол между ними $\gamma = 60°$. Площадь треугольника $S$ можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \sin(60°)$$ Мы знаем, что $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. $$S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 6 \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 48 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$S = 24\sqrt{3}$$ см$^2$ **Ответ: $24\sqrt{3}$ см$^2$**