Найти вероятность того, что событие A происходит точно 220 раз; меньше чем 240 и больше чем 180 раз, в каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4.

Для решения этой задачи воспользуемся локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Дано: Количество независимых испытаний $n = 500$ Вероятность наступления события A в одном испытании $p = 0,4$ Вероятность ненаступления события A в одном испытании $q = 1 - p = 1 - 0,4 = 0,6$ Найдем математическое ожидание (среднее количество наступлений события) и стандартное отклонение: Математическое ожидание: $np = 500 \cdot 0,4 = 200$ Дисперсия: $npq = 500 \cdot 0,4 \cdot 0,6 = 120$ Стандартное отклонение: $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{120} \approx 10,954$ 1. Вероятность того, что событие A происходит **точно 220 раз**. Используем локальную теорему Муавра-Лапласа: $$P_n(k) \approx \frac{1}{\sqrt{npq}} \cdot \phi\left(\frac{k - np}{\sqrt{npq}}\right)$$ Где $k = 220$. Найдем значение $x$: $$x = \frac{k - np}{\sqrt{npq}} = \frac{220 - 200}{10,954} = \frac{20}{10,954} \approx 1,826$$ Используя таблицу значений функции $\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$, найдем $\phi(1,83) \approx 0,0759$. $$P_{500}(220) \approx \frac{1}{10,954} \cdot 0,0759 \approx 0,00693$$ 2. Вероятность того, что событие A происходит **меньше чем 240 и больше чем 180 раз**. То есть, количество наступлений события $k$ находится в диапазоне $181 \le k \le 239$. Используем интегральную теорему Муавра-Лапласа: $$P_n(k_1 \le k \le k_2) \approx \Phi\left(\frac{k_2 - np}{\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\frac{k_1 - np}{\sqrt{npq}}\right)$$ Здесь $k_1 = 180,5$ (так как "больше чем 180") и $k_2 = 239,5$ (так как "меньше чем 240"). Применяем поправку на непрерывность (коррекция Йейтса). Найдем значения $x_1$ и $x_2$: $$x_1 = \frac{180,5 - 200}{10,954} = \frac{-19,5}{10,954} \approx -1,780$$ $$x_2 = \frac{239,5 - 200}{10,954} = \frac{39,5}{10,954} \approx 3,606$$ Используя таблицу значений функции Лапласа $\Phi(x)$: $\Phi(3,61) \approx 0,4998$ $\Phi(-1,78) = -\Phi(1,78) \approx -0,4625$ $$P_{500}(181 \le k \le 239) \approx \Phi(3,61) - \Phi(-1,78) = 0,4998 - (-0,4625) = 0,4998 + 0,4625 = 0,9623$$ **Ответ:** * Вероятность того, что событие А происходит точно 220 раз: $\approx \mathbf{0,00693}$ * Вероятность того, что событие А происходит меньше чем 240 и больше чем 180 раз: $\approx \mathbf{0,9623}$