Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

а) Докажем, что диагонали трапеции перпендикулярны. Допустим, у нас есть трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Диагонали $AC$ и $BD$. Пусть $AC = d_1 = 13$ и $BD = d_2 = 84$. Сумма оснований $AD + BC = 85$. Построим прямую $CE$ параллельную $BD$ через вершину $C$, так что точка $E$ лежит на продолжении основания $AD$. Тогда $BCED$ — параллелограмм, и $CE = BD = 84$. Также $DE = BC$. Рассмотрим треугольник $ACE$. Его стороны: $AC = 13$, $CE = 84$. Третья сторона $AE = AD + DE = AD + BC = 85$. Проверим, выполняется ли для треугольника $ACE$ теорема Пифагора: $$AC^2 + CE^2 = AE^2$$ $$13^2 + 84^2 = 85^2$$ $$169 + 7056 = 7225$$ $$7225 = 7225$$ Так как теорема Пифагора выполняется, треугольник $ACE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$. Значит, $AC \perp CE$. Поскольку $CE \parallel BD$, то $AC \perp BD$. Таким образом, диагонали трапеции перпендикулярны. б) Найдем высоту трапеции. Высота трапеции равна высоте треугольника $ACE$, опущенной из вершины $C$ на сторону $AE$. Обозначим эту высоту как $h$. Площадь треугольника $ACE$ можно найти как половину произведения катетов: $$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CE = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot 84 = \frac{1}{2} \cdot 1092 = 546$$ Также площадь треугольника $ACE$ можно выразить как половину произведения основания $AE$ на высоту $h$: $$S_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot AE \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 85 \cdot h$$ Приравниваем выражения для площади: $$\frac{1}{2} \cdot 85 \cdot h = 546$$ $$85h = 1092$$ $$h = \frac{1092}{85}$$ $$h \approx 12.847$$ **Ответ:** **а) Диагонали трапеции перпендикулярны, так как для треугольника, образованного диагоналями и суммой оснований, выполняется теорема Пифагора ($13^2 + 84^2 = 85^2$).** **б) Высота трапеции $h = \frac{1092}{85}$**