1.В треугольнике ABC угол A равен 45°, угол В равен 60°, BC=3√6. Найдите AC.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов, которая гласит, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. У нас есть: * Угол $A = 45^\circ$ * Угол $B = 60^\circ$ * Сторона $BC = 3\sqrt{6}$ Нужно найти сторону $AC$. По теореме синусов мы можем записать отношение: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$ Подставим известные значения: $$\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{3\sqrt{6}}{\sin 45^\circ}$$ Найдем значения синусов: * $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ * $\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Теперь подставим эти значения в уравнение: $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ Чтобы найти $AC$, выразим его: $$AC = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sin 60^\circ}{\sin 45^\circ}$$ $$AC = \frac{3\sqrt{6} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$ Умножим числитель и знаменатель на 2, чтобы избавиться от дробей: $$AC = \frac{3\sqrt{6} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{2}}$$ Упростим выражение: $$AC = \frac{3\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$$ Зная, что $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = 3\sqrt{2}$, подставим это значение: $$AC = \frac{3 \cdot 3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$$ Сократим $\sqrt{2}$: $$AC = 3 \cdot 3$$ $$AC = 9$$ **Ответ:** 9