Сократите дроби: а) (3a + 9b) / (4a + 12b)

Задача 1. Сократите дроби: а) $$\frac{3a + 9b}{4a + 12b} = \frac{3(a + 3b)}{4(a + 3b)} = \frac{3}{4}$$ б) $$\frac{zb - 5y + 5b - xy}{z^2 - 25} = \frac{(zb + 5b) - (5y + xy)}{(z - 5)(z + 5)} = \frac{b(z + 5) - y(5 + z)}{(z - 5)(z + 5)} = \frac{(z + 5)(b - y)}{(z - 5)(z + 5)} = \frac{b - y}{z - 5}$$ в) $$\frac{7m^2 - 7m + 7}{14m^3 + 14} = \frac{7(m^2 - m + 1)}{14(m^3 + 1)} = \frac{m^2 - m + 1}{2(m + 1)(m^2 - m + 1)} = \frac{1}{2(m + 1)}$$ Задача 2. Выполните действия: а) $$\frac{a + 3}{a^2 - 2a} - \frac{a - 2}{5a - 10} + \frac{a + 2}{5a} = \frac{a + 3}{a(a - 2)} - \frac{a - 2}{5(a - 2)} + \frac{a + 2}{5a}$$ $$= \frac{5(a + 3)}{5a(a - 2)} - \frac{a(a - 2)}{5a(a - 2)} + \frac{(a + 2)(a - 2)}{5a(a - 2)}$$ $$= \frac{5a + 15 - (a^2 - 2a) + (a^2 - 4)}{5a(a - 2)}$$ $$= \frac{5a + 15 - a^2 + 2a + a^2 - 4}{5a(a - 2)}$$ $$= \frac{7a + 11}{5a(a - 2)}$$ б) $$\frac{3}{3a - 3} - \frac{a - 1}{2a^2 - 4a + 2} = \frac{3}{3(a - 1)} - \frac{a - 1}{2(a^2 - 2a + 1)}$$ $$= \frac{1}{a - 1} - \frac{a - 1}{2(a - 1)^2} = \frac{1}{a - 1} - \frac{1}{2(a - 1)}$$ $$= \frac{2}{2(a - 1)} - \frac{1}{2(a - 1)} = \frac{2 - 1}{2(a - 1)} = \frac{1}{2(a - 1)}$$ Задача 3. Выполните умножение: а) $$26m^2 \cdot \frac{3n^2}{13m^4} = \frac{26m^2 \cdot 3n^2}{13m^4} = \frac{2 \cdot 3n^2}{m^2} = \frac{6n^2}{m^2}$$ б) $$\frac{24t^7}{16n^3} \cdot 34n^5 = \frac{24t^7 \cdot 34n^5}{16n^3} = \frac{3t^7 \cdot 17n^2}{2} = \frac{51t^7n^2}{2}$$ в) $$\frac{m^2 - 64}{m^4 - 9m^2} \cdot \frac{m^2 - 8m}{m^2 + 8m} = \frac{(m - 8)(m + 8)}{m^2(m^2 - 9)} \cdot \frac{m(m - 8)}{m(m + 8)}$$ $$= \frac{(m - 8)(m + 8)}{m^2(m - 3)(m + 3)} \cdot \frac{m(m - 8)}{m(m + 8)}$$ $$= \frac{(m - 8)^2}{m^2(m - 3)(m + 3)}$$ г) $$\frac{2x^2 - 16x + 32}{3x^2 - 6x + 12} \cdot \frac{x^3 + 8}{x^2 - 64} = \frac{2(x^2 - 8x + 16)}{3(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 8)(x + 8)}$$ $$= \frac{2(x - 4)^2}{3(x^2 - 2x + 4)} \cdot \frac{(x + 2)(x^2 - 2x + 4)}{(x - 8)(x + 8)}$$ $$= \frac{2(x - 4)^2(x + 2)}{3(x - 8)(x + 8)}$$ Задача 4. Представьте выражение в виде дроби: а) $$\left(\frac{a^2}{x^4}\right)^2 = \frac{(a^2)^2}{(x^4)^2} = \frac{a^4}{x^8}$$ б) $$\left(-\frac{4y}{3m^2}\right)^3 = (-1)^3 \cdot \frac{(4y)^3}{(3m^2)^3} = -\frac{4^3 y^3}{3^3 (m^2)^3} = -\frac{64y^3}{27m^6}$$ Задача 5. Выполните деление: а) $$\frac{a^2 - 1}{a - 8} : \frac{a^2 + 2a + 1}{a - 8} = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 8} \cdot \frac{a - 8}{(a + 1)^2}$$ $$= \frac{(a - 1)(a + 1)(a - 8)}{(a - 8)(a + 1)^2} = \frac{a - 1}{a + 1}$$ б) $$\frac{2c - 3}{c - 1} : (2c - 3) = \frac{2c - 3}{c - 1} \cdot \frac{1}{2c - 3} = \frac{1}{c - 1}$$ Задача 6. Выделите целую часть в выражении: $$ \frac{x^2 + 3x - 2}{x - 3} $$ Используем деление многочленов столбиком: $$ \begin{array}{cc|l} x^2 & +3x & -2 & x-3 \\ \hline x^2 & -3x & & x+6 \\ \hline & 6x & -2 \\ & 6x & -18 \\ \hline & & 16 \end{array} $$ **Ответ:** $$ x + 6 + \frac{16}{x - 3} $$ Задача 7. Найдите все натуральные значения $n$, при которых значение выражения является натуральным числом: а) $$\frac{12 - 3n}{n} = \frac{12}{n} - \frac{3n}{n} = \frac{12}{n} - 3$$ Чтобы выражение было натуральным числом, $$\frac{12}{n}$$ должно быть таким, чтобы $$\frac{12}{n} - 3 > 0$$ и $$\frac{12}{n}$$ было целым. Из $$\frac{12}{n} - 3 > 0$$ следует $$\frac{12}{n} > 3$$, то есть $$12 > 3n$$, или $$n < 4$$. Так как $n$ - натуральное число, то $n$ может быть $$1, 2, 3$$. Проверим эти значения: При $$n = 1: \frac{12}{1} - 3 = 12 - 3 = 9$$ (натуральное число) При $$n = 2: \frac{12}{2} - 3 = 6 - 3 = 3$$ (натуральное число) При $$n = 3: \frac{12}{3} - 3 = 4 - 3 = 1$$ (натуральное число) **Ответ:** $$ n = 1, 2, 3 $$ б) $$\frac{n^2 - 9n + 14}{n} = \frac{n^2}{n} - \frac{9n}{n} + \frac{14}{n} = n - 9 + \frac{14}{n}$$ Чтобы выражение было натуральным числом, $$\frac{14}{n}$$ должно быть целым, а также $$n - 9 + \frac{14}{n} > 0$$ $n$ должно быть делителем числа 14. Натуральные делители 14: $$1, 2, 7, 14$$. Проверим эти значения: При $$n = 1: 1 - 9 + \frac{14}{1} = 1 - 9 + 14 = 6$$ (натуральное число) При $$n = 2: 2 - 9 + \frac{14}{2} = 2 - 9 + 7 = 0$$ (не является натуральным числом, так как натуральные числа начинаются с 1) При $$n = 7: 7 - 9 + \frac{14}{7} = 7 - 9 + 2 = 0$$ (не является натуральным числом) При $$n = 14: 14 - 9 + \frac{14}{14} = 14 - 9 + 1 = 6$$ (натуральное число) **Ответ:** $$ n = 1, 14 $$