Вычислите значение выражения $\frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30}$

Для решения этого примера нам нужно использовать свойства логарифмов: 1. Разность логарифмов: $\log_b M - \log_b N = \log_b \frac{M}{N}$ 2. Свойство изменения основания логарифма: $\frac{\log_b M}{\log_b N} = \log_N M$ Начнем упрощать выражение: $$ \frac{\log_7 8}{\log_7 15 - \log_7 30} $$ Сначала упростим знаменатель, используя свойство разности логарифмов: $$ \log_7 15 - \log_7 30 = \log_7 \frac{15}{30} = \log_7 \frac{1}{2} $$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$ \frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}} $$ Далее используем свойство изменения основания логарифма: $$ \frac{\log_7 8}{\log_7 \frac{1}{2}} = \log_{\frac{1}{2}} 8 $$ Теперь нужно вычислить $\log_{\frac{1}{2}} 8$. Мы ищем степень, в которую нужно возвести $\frac{1}{2}$, чтобы получить 8. Пусть $x = \log_{\frac{1}{2}} 8$. Тогда по определению логарифма: $$ \left(\frac{1}{2}\right)^x = 8 $$ Мы знаем, что $\frac{1}{2} = 2^{-1}$ и $8 = 2^3$. Подставим это в уравнение: $$ (2^{-1})^x = 2^3 $$ $$ 2^{-x} = 2^3 $$ Так как основания равны, то и показатели степени должны быть равны: $$ -x = 3 $$ $$ x = -3 $$ **Ответ: -3**