3. В треугольнике ABC угол C равен 90°, это значит, что он прямоугольный. \(\sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB}\). Но нам нужно найти AC.
Можно найти \(\cos A\) из основного тригонометрического тождества: \(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\).
$$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$$
$$\cos^2 A = 1 - \left(\frac{\sqrt{19}}{10}\right)^2$$
$$\cos^2 A = 1 - \frac{19}{100}$$
$$\cos^2 A = \frac{100 - 19}{100}$$
$$\cos^2 A = \frac{81}{100}$$
$$\cos A = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10}$$ (Угол A в прямоугольном треугольнике острый, поэтому косинус положительный).
Теперь, зная \(\cos A\), мы можем найти AC:
$$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB}$$
$$\frac{9}{10} = \frac{AC}{25}$$
$$AC = \frac{9 \cdot 25}{10}$$
$$AC = \frac{225}{10}$$
$$AC = 22.5$$
**Ответ: 22.5**
4. В треугольнике ABC угол C равен 90°. Нам дано \(AC = 12\) и \(\text{tg} A = \frac{7}{3\sqrt{7}}\). Нужно найти AB.
$$\text{tg} A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC}$$
$$\frac{7}{3\sqrt{7}} = \frac{BC}{12}$$
$$BC = \frac{7 \cdot 12}{3\sqrt{7}}$$
$$BC = \frac{84}{3\sqrt{7}}$$
$$BC = \frac{28}{\sqrt{7}}$$
$$BC = \frac{28\sqrt{7}}{7}$$
$$BC = 4\sqrt{7}$$
Теперь, зная AC и BC, мы можем найти AB по теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\).
$$AB^2 = 12^2 + (4\sqrt{7})^2$$
$$AB^2 = 144 + (16 \cdot 7)$$
$$AB^2 = 144 + 112$$
$$AB^2 = 256$$
$$AB = \sqrt{256}$$
$$AB = 16$$
**Ответ: 16**
5. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота. \(AB = 72\), \(\sin A = \frac{1}{6}\). Нужно найти AH.
В прямоугольном треугольнике ABC:
$$\sin A = \frac{BC}{AB}$$
$$\frac{1}{6} = \frac{BC}{72}$$
$$BC = \frac{72}{6}$$
$$BC = 12$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCH (так как CH — высота, то \(\angle CHB = 90^\circ\)).
Угол B в треугольнике ABC можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике 180°:
$$\angle B = 90^\circ - \angle A$$
В прямоугольном треугольнике ABC можно найти \(\cos A\) (или \(\cos B\)).
Можно также рассмотреть прямоугольный треугольник ACH. Нам нужно найти AH. Из треугольника ABC мы можем найти AC.
$$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{6}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{35}{36}} = \frac{\sqrt{35}}{6}$$
В прямоугольном треугольнике ABC:
$$\cos A = \frac{AC}{AB}$$
$$\frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{AC}{72}$$
$$AC = \frac{72 \cdot \sqrt{35}}{6}$$
$$AC = 12\sqrt{35}$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (так как CH — высота, то \(\angle CHA = 90^\circ\)).
$$\cos A = \frac{AH}{AC}$$
$$\frac{\sqrt{35}}{6} = \frac{AH}{12\sqrt{35}}$$
$$AH = \frac{\sqrt{35}}{6} \cdot 12\sqrt{35}$$
$$AH = 2 \cdot 35$$
$$AH = 70$$
**Ответ: 70**
6. В треугольнике ABC \(AC = BC\), это значит, что треугольник равнобедренный. \(AB = 16\), \(\cos A = \frac{8}{17}\). Нужно найти высоту CH.
В равнобедренном треугольнике высота CH, опущенная на основание AB, является также медианой. Значит, H — середина AB.
$$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{16}{2} = 8$$
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH (так как CH — высота, то \(\angle CHA = 90^\circ\)).
Нам дано \(\cos A = \frac{8}{17}\) и мы знаем \(AH = 8\).
$$\cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AH}{AC}$$
$$\frac{8}{17} = \frac{8}{AC}$$
Отсюда видно, что \(AC = 17\).
Теперь мы можем найти CH по теореме Пифагора в треугольнике ACH: \(AC^2 = AH^2 + CH^2\).
$$17^2 = 8^2 + CH^2$$
$$289 = 64 + CH^2$$
$$CH^2 = 289 - 64$$
$$CH^2 = 225$$
$$CH = \sqrt{225}$$
$$CH = 15$$
**Ответ: 15**
