1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна 9 см. Найдите гипотенузу треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Значит, если медиана равна 9 см, то гипотенуза будет в 2 раза больше: $$9 \text{ см} \cdot 2 = 18 \text{ см}$$ **Ответ: 18 см** 2. Так как медиана, проведённая к гипотенузе в прямоугольном треугольнике, равна её половине, то: $$14 \text{ см} \div 2 = 7 \text{ см}$$ **Ответ: 7 см** 3. Сначала найдём гипотенузу $AB$ по теореме Пифагора: $$AC^2 + BC^2 = AB^2$$ $$24^2 + 7^2 = AB^2$$ $$576 + 49 = AB^2$$ $$625 = AB^2$$ $$AB = \sqrt{625} = 25 \text{ см}$$ Периметр треугольника $ABC$ равен сумме длин всех его сторон: $$P = AC + BC + AB$$ $$P = 24 + 7 + 25 = 56 \text{ см}$$ **Ответ: 56 см** 4. Так как угол $C$ равен $90^\circ$, треугольник $ABC$ прямоугольный. Медиана $CM$ проведена к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна её половине. $$CM = AB \div 2$$ $$CM = 20 \text{ см} \div 2 = 10 \text{ см}$$ **Ответ: 10 см** 5. В условии задачи сказано, что $BM$ — медиана. Это значит, что точка $M$ делит сторону $AC$ пополам. Но в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, делит ее пополам. Здесь же не сказано, к какой стороне проведена медиана. Предположим, что $BM$ — это медиана, проведенная к стороне $AC$. Тогда $AM = MC = AC / 2$. **Допущение: В задаче, вероятно, опечатка. Если $BM$ — медиана, то она проведена к стороне $AC$. Но в условии указано $AC = 14$ см и $BM = 10$ см. Если $BM$ — медиана, проведённая к $AC$, то $M$ — середина $AC$. Тогда $AM = MC = AC / 2 = 14 / 2 = 7$ см. Если же $BM$ — медиана, как в предыдущих задачах, то она проведена к гипотенузе. Но в этом случае не указано, что треугольник прямоугольный, а также нет других сторон. Предположим, что $BM$ — медиана к стороне $AC$, а $AM$ — часть стороны $AC$. Тогда $M$ — середина $AC$.** Если $M$ — середина стороны $AC$, то $AM = AC \div 2$. $$AM = 14 \text{ см} \div 2 = 7 \text{ см}$$ Однако, если задача аналогична предыдущим, и $BM$ — это медиана, а $AC$ — это одна из сторон, и нужно найти $AM$ как часть $AB$ (гипотенузы, если треугольник прямоугольный) — то данных недостаточно. Предположим, что это задача на свойство медианы прямоугольного треугольника, но стороны обозначены не как обычно. Если $BM$ - медиана, а $AC$ - сторона. Тогда в условии должна быть опечатка и имеется в виду, что $M$ - это середина стороны $AC$, а медиана $BM$ - это другая медиана, не связанная напрямую с $AM$ как частью $AC$. Давай сделаем допущение, что $M$ — это середина стороны $AC$. Тогда $AM$ будет половиной $AC$. $$AM = AC \div 2$$ $$AM = 14 \text{ см} \div 2 = 7 \text{ см}$$ **Ответ: 7 см**