В треугольнике ABC угол A равен 30°, угол B равен 45°, BC=. Найдите AC.

1) В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $30^\circ$, угол $B$ равен $45^\circ$. Найдите $AC$, если $BC = 10$. По теореме синусов: $$\frac{AC}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A}$$ Подставляем известные значения: $$\frac{AC}{\sin 45^\circ} = \frac{10}{\sin 30^\circ}$$ $$\frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{10}{\frac{1}{2}}$$ $$AC = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}$$ $$AC = 10 \sqrt{2}$$ **Ответ:** $10\sqrt{2}$ 2) В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 2$, $BC = 3$, $AC = 4$. Найдите $\cos\angle ABC$. По теореме косинусов для угла $B$: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos\angle ABC$$ Подставляем известные значения: $$4^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cos\angle ABC$$ $$16 = 4 + 9 - 12 \cdot \cos\angle ABC$$ $$16 = 13 - 12 \cdot \cos\angle ABC$$ $$12 \cdot \cos\angle ABC = 13 - 16$$ $$12 \cdot \cos\angle ABC = -3$$ $$\cos\angle ABC = -\frac{3}{12}$$ $$\cos\angle ABC = -\frac{1}{4}$$ **Ответ:** $-\frac{1}{4}$ 3) Косинус острого угла $A$ треугольника $ABC$ равен $\frac{3}{5}$. Найдите $\sin A$. Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$$ $$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A$$ $$\sin^2 A = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2$$ $$\sin^2 A = 1 - \frac{9}{25}$$ $$\sin^2 A = \frac{25 - 9}{25}$$ $$\sin^2 A = \frac{16}{25}$$ Так как угол $A$ острый (0° < A < 90°), то $\sin A > 0$. $$\sin A = \sqrt{\frac{16}{25}}$$ $$\sin A = \frac{4}{5}$$ **Ответ:** $\frac{4}{5}$ 4) В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 20$, $BC = 7$, $\sin\angle ABC = \frac{3}{7}$. Найдите площадь треугольника $ABC$. Площадь треугольника можно найти по формуле: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC$$ Подставляем известные значения: $$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 7 \cdot \frac{3}{7}$$ $$S = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 3$$ $$S = 10 \cdot 3$$ $$S = 30$$ **Ответ:** $30$ 5) В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90^\circ$, $BC = 5$, $AC = 2$. Найдите $\text{tg}B$. В прямоугольном треугольнике тангенс угла $B$ равен отношению противолежащего катета $AC$ к прилежащему катету $BC$: $$\text{tg}B = \frac{AC}{BC}$$ Подставляем известные значения: $$\text{tg}B = \frac{2}{5}$$ **Ответ:** $\frac{2}{5}$