Найдите наименьшее значение $n$, при котором произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ делится на 202500 без остатка.

Нам нужно найти наименьшее натуральное число $n$, при котором произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ (то есть $n!$) делится на 202500 без остатка. Сначала разложим число 202500 на простые множители: $$202500 = 2025 \times 100$$ $$2025 = 5^2 \times 81 = 5^2 \times 3^4$$ $$100 = 10^2 = (2 \times 5)^2 = 2^2 \times 5^2$$ Значит, $$202500 = 2^2 \times 3^4 \times 5^2 \times 5^2 = 2^2 \times 3^4 \times 5^4$$ Теперь посмотрим, какие простые множители и в какой степени должны быть в $n!$: 1. **Для $2^2$**: Чтобы в произведении $n!$ была степень $2^2$, нам достаточно, чтобы $n$ было хотя бы 4 (так как $1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24$, и $24$ содержит $2^3$). 2. **Для $3^4$**: Чтобы в произведении $n!$ была степень $3^4$, нам нужно найти такое наименьшее $n$, чтобы произведение до $n$ содержало не менее четырех троек. Это происходит, когда $n=9$, так как $3$ и $6$ (где есть одна тройка и одна тройка), $9$ (где две тройки) дают $3^1 \times 3^1 \times 3^2 = 3^4$. 3. **Для $5^4$**: Чтобы в произведении $n!$ была степень $5^4$, нам нужно найти такое наименьшее $n$, чтобы произведение до $n$ содержало не менее четырех пятерок. * Число 5 дает одну пятерку. * Число 10 дает одну пятерку. * Число 15 дает одну пятерку. * Число 20 дает одну пятерку. Следовательно, для $n=20$ мы получаем $5^1 \times 10^1 \times 15^1 \times 20^1$, что дает $5 \times (2\times5) \times (3\times5) \times (4\times5)$, или $5^4 \times \dots$ Итак, нам нужно, чтобы $n$ было достаточно большим, чтобы содержать все эти множители. Наибольшее из этих значений и будет нашим ответом. Для $2^2$ достаточно $n=4$. Для $3^4$ достаточно $n=9$. Для $5^4$ достаточно $n=20$. Наименьшее $n$, которое удовлетворяет всем этим условиям, это наибольшее из найденных значений. **Ответ: 20**