При каких значениях параметра а уравнение (а + 5)x² - (а + 6)x + 3 = 0 имеет единственный корень?

Чтобы квадратное уравнение имело единственный корень, дискриминант должен быть равен нулю. Но сначала, нужно рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю. **Случай 1:** Коэффициент при $x^2$ равен нулю. Если $a + 5 = 0$, то $a = -5$. Подставим $a = -5$ в уравнение: $$(-5 + 5)x^2 - (-5 + 6)x + 3 = 0$$ $$0x^2 - (1)x + 3 = 0$$ $$-x + 3 = 0$$ $$-x = -3$$ $$x = 3$$ В этом случае уравнение становится линейным и имеет единственный корень $x=3$. Значит, $a = -5$ подходит. **Случай 2:** Уравнение является квадратным, и его дискриминант равен нулю. Уравнение имеет вид $Ax^2 + Bx + C = 0$, где: $A = a + 5$ $B = -(a + 6)$ $C = 3$ Дискриминант $D = B^2 - 4AC$ должен быть равен нулю. $$D = (-(a + 6))^2 - 4(a + 5)(3) = 0$$ $$(a + 6)^2 - 12(a + 5) = 0$$ $$a^2 + 12a + 36 - 12a - 60 = 0$$ $$a^2 - 24 = 0$$ $$a^2 = 24$$ $$a = \pm\sqrt{24}$$ $$a = \pm\sqrt{4 \cdot 6}$$ $$a = \pm 2\sqrt{6}$$ Итак, значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень, это $a = -5$, $a = 2\sqrt{6}$ и $a = -2\sqrt{6}$. **Ответ:** $a = -5$, $a = 2\sqrt{6}$, $a = -2\sqrt{6}$