Дан правильный треугольник ABC со стороной, равной 3. Точка О – центр треугольника, ОМ – перпендикуляр к его плоскости (рис.2), ОМ = 1. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.

1. Сначала найдём радиус окружности, описанной около правильного треугольника. Формула для радиуса описанной окружности $R$ для правильного треугольника со стороной $a$ выглядит так: $$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$$ В нашем случае сторона $a = 3$, значит: $$R = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$$ Расстояние от центра треугольника $O$ до любой вершины (например, до вершины $C$) равно радиусу описанной окружности, то есть $OC = R = \sqrt{3}$. 2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MOC$. Угол $MOC$ равен $90^\[circ\]$, потому что $OM$ перпендикулярен плоскости треугольника $ABC$, а $OC$ лежит в этой плоскости. Мы знаем $OM = 1$ и $OC = \sqrt{3}$. Используем теорему Пифагора, чтобы найти $MC$: $$MC^2 = OM^2 + OC^2$$ $$MC^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2$$ $$MC^2 = 1 + 3$$ $$MC^2 = 4$$ $$MC = \sqrt{4} = 2$$ **Ответ:** 2