Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: a) AB = 5 см, AC = 7.5 см, \angle A = 135°

1. Используем теорему косинусов для нахождения стороны BC: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$ $$BC^2 = 5^2 + 7.5^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7.5 \cdot \cos 135^\circ$$ $$BC^2 = 25 + 56.25 - 75 \cdot \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ $$BC^2 = 81.25 + 37.5\sqrt{2}$$ $$BC = \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}} \text{ см}$$ Теперь найдём угол B по теореме косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \cdot AB \cdot BC}$$ $$\cos B = \frac{5^2 + (81.25 + 37.5\sqrt{2}) - 7.5^2}{2 \cdot 5 \cdot \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}}}$$ $$\cos B = \frac{25 + 81.25 + 37.5\sqrt{2} - 56.25}{10 \cdot \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}}}$$ $$\cos B = \frac{50 + 37.5\sqrt{2}}{10 \cdot \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}}}$$ $$B = \arccos\left(\frac{50 + 37.5\sqrt{2}}{10 \cdot \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}}}\right)$$ Угол C найдём, зная, что сумма углов треугольника равна 180°: $$C = 180^\circ - A - B$$ $$C = 180^\circ - 135^\circ - \arccos\left(\frac{50 + 37.5\sqrt{2}}{10 \cdot \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}}}\right)$$ $$C = 45^\circ - \arccos\left(\frac{50 + 37.5\sqrt{2}}{10 \cdot \sqrt{81.25 + 37.5\sqrt{2}}}\right)$$ **Ответ:** $BC \approx 12.02\text{ см}$, $B \approx 23.32^\circ$, $C \approx 21.68^\circ$. 2. Используем теорему косинусов для нахождения стороны AC: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$AC^2 = (2\sqrt{2})^2 + 3^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot 3 \cdot \cos 45^\circ$$ $$AC^2 = 8 + 9 - 12\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$AC^2 = 17 - 12$$ $$AC^2 = 5$$ $$AC = \sqrt{5} \text{ дм}$$ Теперь найдём угол A по теореме косинусов: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$ $$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$$ $$\cos A = \frac{(2\sqrt{2})^2 + (\sqrt{5})^2 - 3^2}{2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}$$ $$\cos A = \frac{8 + 5 - 9}{4\sqrt{10}}$$ $$\cos A = \frac{4}{4\sqrt{10}}$$ $$\cos A = \frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10}$$ $$A = \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$ Угол C найдём, зная, что сумма углов треугольника равна 180°: $$C = 180^\circ - A - B$$ $$C = 180^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right) - 45^\circ$$ $$C = 135^\circ - \arccos\left(\frac{\sqrt{10}}{10}\right)$$ **Ответ:** $AC = \sqrt{5}\text{ дм}$, $A \approx 71.57^\circ$, $C \approx 63.43^\circ$. 3. Используем теорему косинусов для нахождения стороны AB: $$AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos C$$ $$AB^2 = 0.6^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 - 2 \cdot 0.6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \cos 150^\circ$$ $$AB^2 = 0.36 + \frac{3}{16} - 2 \cdot 0.6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$AB^2 = 0.36 + 0.1875 - \frac{1.2\sqrt{3}}{4} \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$ $$AB^2 = 0.36 + 0.1875 + \frac{1.2 \cdot 3}{8}$$ $$AB^2 = 0.36 + 0.1875 + 0.45$$ $$AB^2 = 0.9975$$ $$AB = \sqrt{0.9975} \text{ м}$$ Теперь найдём угол A по теореме косинусов: $$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$$ $$\cos A = \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot AC}$$ $$\cos A = \frac{0.9975 + 0.6^2 - (\frac{\sqrt{3}}{4})^2}{2 \cdot \sqrt{0.9975} \cdot 0.6}$$ $$\cos A = \frac{0.9975 + 0.36 - 0.1875}{1.2\sqrt{0.9975}}$$ $$\cos A = \frac{1.17}{1.2\sqrt{0.9975}}$$ $$A = \arccos\left(\frac{1.17}{1.2\sqrt{0.9975}}\right)$$ Угол B найдём, зная, что сумма углов треугольника равна 180°: $$B = 180^\circ - A - C$$ $$B = 180^\circ - \arccos\left(\frac{1.17}{1.2\sqrt{0.9975}}\right) - 150^\circ$$ $$B = 30^\circ - \arccos\left(\frac{1.17}{1.2\sqrt{0.9975}}\right)$$ **Ответ:** $AB \approx 0.999\text{ м}$, $A \approx 11.2^\circ$, $B \approx 18.8^\circ$.