Решите контрольную работу по теме «Умножение и деление обыкновенных дробей».

1. Выполните действие: а) $2\frac{1}{7} \cdot 1\frac{11}{14}$ Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{14 + 1}{7} = \frac{15}{7}$ $1\frac{11}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 11}{14} = \frac{14 + 11}{14} = \frac{25}{14}$ Теперь умножим дроби: $\frac{15}{7} \cdot \frac{25}{14} = \frac{15 \cdot 25}{7 \cdot 14} = \frac{375}{98}$ Выделим целую часть: $375 \div 98 = 3$ (остаток $375 - 3 \cdot 98 = 375 - 294 = 81$) Значит, $3\frac{81}{98}$ **Ответ: $3\frac{81}{98}$** б) $3\frac{3}{5} : 1\frac{11}{25}$ Сначала переведем смешанные дроби в неправильные: $3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{15 + 3}{5} = \frac{18}{5}$ $1\frac{11}{25} = \frac{1 \cdot 25 + 11}{25} = \frac{25 + 11}{25} = \frac{36}{25}$ Теперь выполним деление. Для этого умножим первую дробь на перевернутую вторую: $\frac{18}{5} : \frac{36}{25} = \frac{18}{5} \cdot \frac{25}{36}$ Сократим дроби: $\frac{18}{5} \cdot \frac{25}{36} = \frac{18 \cdot 25}{5 \cdot 36} = \frac{1 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{5}{2}$ Выделим целую часть: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ **Ответ: $2\frac{1}{2}$** в) $4\frac{3}{4} - 2\frac{3}{14} \cdot 7$ Сначала выполним умножение. Переведем $2\frac{3}{14}$ в неправильную дробь: $2\frac{3}{14} = \frac{2 \cdot 14 + 3}{14} = \frac{28 + 3}{14} = \frac{31}{14}$ Теперь умножим на 7: $\frac{31}{14} \cdot 7 = \frac{31 \cdot 7}{14} = \frac{31 \cdot 1}{2} = \frac{31}{2}$ Переведем $4\frac{3}{4}$ в неправильную дробь: $4\frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{16 + 3}{4} = \frac{19}{4}$ Теперь выполним вычитание: $\frac{19}{4} - \frac{31}{2}$ Приведем дроби к общему знаменателю (4): $\frac{19}{4} - \frac{31 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{19}{4} - \frac{62}{4} = \frac{19 - 62}{4} = \frac{-43}{4}$ Выделим целую часть: $-\frac{43}{4} = -10\frac{3}{4}$ **Ответ: $-10\frac{3}{4}$** 2. Решите уравнения: а) $2\frac{1}{15} - \frac{3}{4}m = \frac{59}{60}$ Сначала переведем $2\frac{1}{15}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{15} = \frac{2 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{30 + 1}{15} = \frac{31}{15}$ Уравнение принимает вид: $\frac{31}{15} - \frac{3}{4}m = \frac{59}{60}$ Вычтем $\frac{31}{15}$ из обеих частей уравнения: $-\frac{3}{4}m = \frac{59}{60} - \frac{31}{15}$ Приведем дроби к общему знаменателю (60): $-\frac{3}{4}m = \frac{59}{60} - \frac{31 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{59}{60} - \frac{124}{60} = \frac{59 - 124}{60} = \frac{-65}{60}$ Сократим дробь $\frac{-65}{60}$ на 5: $\frac{-65}{60} = \frac{-13}{12}$ Теперь имеем: $-\frac{3}{4}m = -\frac{13}{12}$ Чтобы найти $m$, умножим обе части уравнения на $-\frac{4}{3}$: $m = -\frac{13}{12} \cdot (-\frac{4}{3}) = \frac{13 \cdot 4}{12 \cdot 3} = \frac{13 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{13}{9}$ Выделим целую часть: $m = 1\frac{4}{9}$ **Ответ: $m = 1\frac{4}{9}$** б) $\frac{2}{5}z + \frac{2}{3}z - \frac{7}{15}z = 2\frac{1}{2}$ Сначала переведем $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ Приведем дроби с $z$ к общему знаменателю (15): $\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3}z + \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5}z - \frac{7}{15}z = \frac{6}{15}z + \frac{10}{15}z - \frac{7}{15}z$ Сложим и вычтем коэффициенты при $z$: $(\frac{6 + 10 - 7}{15})z = \frac{9}{15}z$ Сократим дробь $\frac{9}{15}$ на 3: $\frac{9}{15} = \frac{3}{5}$ Уравнение принимает вид: $\frac{3}{5}z = \frac{5}{2}$ Чтобы найти $z$, умножим обе части уравнения на $\frac{5}{3}$: $z = \frac{5}{2} \cdot \frac{5}{3} = \frac{5 \cdot 5}{2 \cdot 3} = \frac{25}{6}$ Выделим целую часть: $z = 4\frac{1}{6}$ **Ответ: $z = 4\frac{1}{6}$** 3. За два дня турист прошел 26 км. Путь, пройденный в первый день, составлял $\frac{6}{7}$ пути, пройденного во второй день. Сколько километров прошел турист в каждый из этих дней? Обозначим путь, пройденный во второй день, за $x$ км. Тогда путь, пройденный в первый день, составит $\frac{6}{7}x$ км. Общий путь за два дня: $x + \frac{6}{7}x = 26$ Сложим $x$ и $\frac{6}{7}x$: $x + \frac{6}{7}x = \frac{7}{7}x + \frac{6}{7}x = \frac{7+6}{7}x = \frac{13}{7}x$ Получаем уравнение: $\frac{13}{7}x = 26$ Чтобы найти $x$, умножим обе части уравнения на $\frac{7}{13}$: $x = 26 \cdot \frac{7}{13}$ Сократим 26 и 13: $x = 2 \cdot 7 = 14$ Значит, во второй день турист прошел 14 км. Найдем путь, пройденный в первый день: $\frac{6}{7}x = \frac{6}{7} \cdot 14 = 6 \cdot 2 = 12$ км. Проверим: $12 + 14 = 26$ км. Верно. **Ответ:** * **В первый день турист прошел 12 км.** * **Во второй день турист прошел 14 км.** 4. Вычислите: а) $4\frac{1}{6} \cdot (1\frac{1}{2} - \frac{3}{5}) + (\frac{3}{4} + \frac{5}{6}) : 6$ Выполним действия в скобках по порядку: Первая скобка: $1\frac{1}{2} - \frac{3}{5}$ Переведем $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$ Найдем общий знаменатель для $\frac{3}{2}$ и $\frac{3}{5}$ (это 10): $\frac{3}{2} - \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{15}{10} - \frac{6}{10} = \frac{15 - 6}{10} = \frac{9}{10}$ Вторая скобка: $\frac{3}{4} + \frac{5}{6}$ Найдем общий знаменатель для $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$ (это 12): $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{10}{12} = \frac{9 + 10}{12} = \frac{19}{12}$ Теперь переведем $4\frac{1}{6}$ в неправильную дробь: $4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{24 + 1}{6} = \frac{25}{6}$ Подставим результаты в исходное выражение: $\frac{25}{6} \cdot \frac{9}{10} + \frac{19}{12} : 6$ Выполним умножение: $\frac{25}{6} \cdot \frac{9}{10} = \frac{25 \cdot 9}{6 \cdot 10}$ Сократим 25 и 10 на 5, а 9 и 6 на 3: $\frac{5 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{15}{4}$ Выполним деление: $\frac{19}{12} : 6 = \frac{19}{12} \cdot \frac{1}{6} = \frac{19 \cdot 1}{12 \cdot 6} = \frac{19}{72}$ Теперь сложим результаты: $\frac{15}{4} + \frac{19}{72}$ Найдем общий знаменатель для 4 и 72 (это 72): $\frac{15 \cdot 18}{4 \cdot 18} + \frac{19}{72} = \frac{270}{72} + \frac{19}{72} = \frac{270 + 19}{72} = \frac{289}{72}$ Выделим целую часть: $289 \div 72 = 4$ (остаток $289 - 4 \cdot 72 = 289 - 288 = 1$) Значит, $4\frac{1}{72}$ **Ответ: $4\frac{1}{72}$** б) $(6\frac{1}{14} - 2\frac{3}{7}) : (3\frac{1}{2} + 1\frac{1}{8})$ Выполним действия в скобках по порядку: Первая скобка: $6\frac{1}{14} - 2\frac{3}{7}$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $6\frac{1}{14} = \frac{6 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{84 + 1}{14} = \frac{85}{14}$ $2\frac{3}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{14 + 3}{7} = \frac{17}{7}$ Вычтем дроби, приведя к общему знаменателю (14): $\frac{85}{14} - \frac{17 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{85}{14} - \frac{34}{14} = \frac{85 - 34}{14} = \frac{51}{14}$ Вторая скобка: $3\frac{1}{2} + 1\frac{1}{8}$ Переведем смешанные дроби в неправильные: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{6 + 1}{2} = \frac{7}{2}$ $1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$ Сложим дроби, приведя к общему знаменателю (8): $\frac{7 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{9}{8} = \frac{28}{8} + \frac{9}{8} = \frac{28 + 9}{8} = \frac{37}{8}$ Теперь выполним деление результатов первой и второй скобок: $\frac{51}{14} : \frac{37}{8}$ Чтобы разделить, умножим первую дробь на перевернутую вторую: $\frac{51}{14} \cdot \frac{8}{37} = \frac{51 \cdot 8}{14 \cdot 37}$ Сократим 8 и 14 на 2: $\frac{51 \cdot 4}{7 \cdot 37} = \frac{204}{259}$ **Ответ: $\frac{204}{259}$**