Назовите вектор, равный сумме векторов $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$ в прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

1. Чтобы найти сумму векторов, будем использовать правила сложения и вычитания векторов, а также свойство параллелепипеда. Запишем выражение: $$\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ В параллелепипеде $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$. Тогда $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB}$. Мы знаем, что $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$. Поэтому $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Далее, $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{BA_1}$ (как равные векторы в параллелепипеде). Или можно использовать правило треугольника: $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{CC_1} + \overrightarrow{C_1D_1}$. Рассмотрим сумму $\overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{CD_1}$. Вектор $\overrightarrow{CD_1}$ можно заменить на $\overrightarrow{BA_1}$. Тогда $\overrightarrow{D_1A} + \overrightarrow{BA_1}$. Это не очень удобно. Давай перегруппируем векторы, чтобы было удобнее складывать: $$\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ Поскольку $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$, то $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ Теперь сложим $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD_1}$: $$\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{AD_1}$$ (по правилу треугольника, если вершины A, C, D1 лежат в одной плоскости, что неверно для параллелепипеда, но это векторное сложение) Правильнее будет так: $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{AD_1}$ неверно, потому что $C$ не является началом вектора $D_1$. Давай использовать свойство параллелепипеда: $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{A_1B_1}$. $\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{C_1B_1}$. Используем правило многоугольника (цепочки): $$\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ Заменим $\overrightarrow{BC}$ на $\overrightarrow{AD}$. $$\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ Переставим слагаемые: $$\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ Теперь последовательно сложим: $\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{AD_1}$ (здесь есть ошибка в рассуждении, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{CD_1}$ не образуют цепочку таким образом). Давай еще раз, используя известные равенства векторов в параллелепипеде и правило треугольника: 1. $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ (векторы противоположных сторон основания) 2. $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$ 3. $\overrightarrow{CD_1} = \overrightarrow{BA_1}$ (векторы диагоналей боковых граней, параллельные и равные) 4. $\overrightarrow{D_1A}$ Тогда выражение станет: $$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA_1} + \overrightarrow{D_1A}$$ Сложим $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$. Остается $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BA_1} + \overrightarrow{D_1A}$. Известно, что $\overrightarrow{BA_1} = \overrightarrow{CD_1}$. Воспользуемся свойством параллелепипеда: $\overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{C_1B}$. Это тоже не упрощает. Попробуем так: $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A}$ Поменяем местами $\overrightarrow{CD_1} + \overrightarrow{D_1A} = \overrightarrow{CA}$. Тогда имеем: $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{CA}$. Заменим $\overrightarrow{CA}$ на $-\overrightarrow{AC}$. $\overrightarrow{DC} - \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{AC}$ Теперь $-\overrightarrow{CB} = \overrightarrow{BC}$. $\overrightarrow{DC} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DC} - \overrightarrow{AC}$ Заменим $\overrightarrow{DC}$ на $\overrightarrow{AB}$. $\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}$ Переставим: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AC} = \vec{0}$. **Ответ: $\vec{0}$ (нулевой вектор)**