Найдите значение выражения $$\sqrt{51 - 10\sqrt{26}} - \sqrt{51 + 10\sqrt{26}}$$

Нам нужно найти значение выражения: $$\sqrt{51 - 10\sqrt{26}} - \sqrt{51 + 10\sqrt{26}}$$ Для начала заметим, что $$\sqrt{51 - 10\sqrt{26}}$$ и $$\sqrt{51 + 10\sqrt{26}}$$ похожи на формулу $$\sqrt{A \pm \sqrt{B}} = \sqrt{\frac{A + \sqrt{A^2 - B}}{2}} \pm \sqrt{\frac{A - \sqrt{A^2 - B}}{2}}$$. Давай попробуем представить числа под корнем как квадрат разности или суммы. Заметим, что $10\sqrt{26} = 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{26}$. Попробуем найти такие числа $a$ и $b$, чтобы $a^2+b^2 = 51$ и $2ab = 10\sqrt{26}$. Из $2ab = 10\sqrt{26}$ следует $ab = 5\sqrt{26}$. Тогда $a^2b^2 = (5\sqrt{26})^2 = 25 \cdot 26 = 650$. Попробуем найти два числа, сумма которых равна 51, а произведение — 650. Пусть это будут корни уравнения $x^2 - 51x + 650 = 0$. Найдем дискриминант: $D = (-51)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 650 = 2601 - 2600 = 1$. Тогда $x = \frac{51 \pm \sqrt{1}}{2} = \frac{51 \pm 1}{2}$. $x_1 = \frac{51 - 1}{2} = \frac{50}{2} = 25$. $x_2 = \frac{51 + 1}{2} = \frac{52}{2} = 26$. Таким образом, $a^2$ и $b^2$ это 25 и 26. Значит, мы можем представить $51 - 10\sqrt{26}$ как $(\sqrt{26} - \sqrt{25})^2$ или $(5 - \sqrt{26})^2$. Так как $5^2 = 25$ и $(\sqrt{26})^2 = 26$. Тогда: $$51 - 10\sqrt{26} = 26 - 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{26} + 25 = (\sqrt{26})^2 - 2 \cdot \sqrt{26} \cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{26} - 5)^2$$ Аналогично: $$51 + 10\sqrt{26} = 26 + 2 \cdot 5 \cdot \sqrt{26} + 25 = (\sqrt{26})^2 + 2 \cdot \sqrt{26} \cdot 5 + 5^2 = (\sqrt{26} + 5)^2$$ Теперь подставим это обратно в исходное выражение: $$\sqrt{(\sqrt{26} - 5)^2} - \sqrt{(\sqrt{26} + 5)^2}$$ Помни, что $$\sqrt{x^2} = |x|$$. Поэтому: $$|\sqrt{26} - 5| - |\sqrt{26} + 5|$$ Сравним $\sqrt{26}$ и 5. Так как $5 = \sqrt{25}$, то $\sqrt{26} > 5$. Значит, $(\sqrt{26} - 5)$ — положительное число, и $|\sqrt{26} - 5| = \sqrt{26} - 5$. $\sqrt{26} + 5$ — это очевидно положительное число, поэтому $|\sqrt{26} + 5| = \sqrt{26} + 5$. Подставляем значения модулей обратно в выражение: $$(\sqrt{26} - 5) - (\sqrt{26} + 5)$$ Раскроем скобки: $$\sqrt{26} - 5 - \sqrt{26} - 5$$ $$(\sqrt{26} - \sqrt{26}) + (-5 - 5)$$ $$0 - 10 = -10$$ **Ответ: -10**