В треугольнике ABC сумма углов A и B равна 90°. Прямая BD перпендикулярна к плоскости ABC. Докажите, что CD \perp AC.

27. \\ Доказательство:\\ 1. В треугольнике $ABC$ сумма углов $A$ и $B$ равна $90^\circ$. Значит, угол $C = 180^\circ - (A + B) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ — прямоугольный, и $AC \perp BC$.\\ 2. Прямая $BD$ перпендикулярна плоскости $ABC$. Это означает, что прямая $BD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $AC$. То есть $BD \perp AC$.\\ 3. У нас есть две прямые ($BC$ и $BD$), которые лежат в плоскости $BCD$ (или пересекаются в точке $B$) и перпендикулярны прямой $AC$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. В нашем случае, прямая $AC$ перпендикулярна прямым $BC$ и $BD$. Значит, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости, содержащей эти прямые, то есть плоскости $BCD$.\\ 4. Так как прямая $CD$ лежит в плоскости $BCD$, и $AC$ перпендикулярна плоскости $BCD$, то $AC$ перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, в том числе и $CD$. Следовательно, $CD \perp AC$.\\ **Что и требовалось доказать.**\\ 28. \\ Доказательство:\\ 1. Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Точка $O$ — это точка пересечения его диагоналей. Из свойств параллелограмма мы знаем, что диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть $AO = OC$ и $BO = OD$.\\ 2. Нам дано, что $MA = MC$. Это значит, что точка $M$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Множество всех таких точек образует плоскость, перпендикулярную отрезку $AC$ и проходящую через его середину. Так как $O$ — середина $AC$, то $MO \perp AC$.\\ 3. Нам также дано, что $MB = MD$. Это значит, что точка $M$ равноудалена от вершин $B$ и $D$. Множество всех таких точек образует плоскость, перпендикулярную отрезку $BD$ и проходящую через его середину. Так как $O$ — середина $BD$, то $MO \perp BD$.\\ 4. Прямая $OM$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($AC$ и $BD$), которые лежат в плоскости параллелограмма $ABCD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Значит, прямая $OM$ перпендикулярна плоскости параллелограмма $ABCD$.\\ **Что и требовалось доказать.**