Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, трубку за 6 долларов, три пачки табака и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов, на что Джо вытащил револьвер. Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался, что бармен пытался его обсчитать?

1. Сначала посчитаем, сколько должны были стоить виски и трубка: $$3 \text{ доллара} + 6 \text{ долларов} = 9 \text{ долларов}$$ Баpмен попросил 11 долларов 80 центов. Это 1180 центов. Если бы баpмен попросил за спички и табак сумму, которая прибавит к 9 долларам целое число долларов (например, 1 доллар, 2 доллара и так далее), то общая сумма была бы без центов. Но общая сумма оказалась 11 долларов 80 центов. Это значит, что стоимость табака и спичек, которую назвал бармен, содержала 80 центов. Но за виски и трубку уже заплачено целое число долларов, поэтому 80 центов — это стоимость табака и спичек. Джo знал, что не бывает табака и спичек с ценниками, которые не являются целым числом центов (или целым числом долларов, если мы говорим о таких товарах). Он понял, что баpмен назвал неточную цену, чтобы его обсчитать. 2. Пусть стоимость одной лыжи будет $X$ рублей. Петя заплатил 3-х рублевыми ассигнациями, Коля — 5-ти рублевыми. Всего они дали в кассу меньше 15 купюр. Если каждая лыжа стоит 12 рублей, то две лыжи стоят $12 \cdot 2 = 24$ рубля. Петя мог заплатить $24 \div 3 = 8$ купюр. Коля мог заплатить $24 \div 5 = 4,8$ купюр. Это невозможно, так как количество купюр должно быть целым числом. Рассмотрим стоимость одной пары лыж (две лыжи). Пусть это будет $Y$ рублей. $Y$ должно делиться на 3 и на 5, чтобы можно было заплатить целым числом купюр. Значит, $Y$ должно делиться на наименьшее общее кратное чисел 3 и 5, то есть на 15. Предположим, что пара лыж стоит 15 рублей. Петя заплатил бы $15 \div 3 = 5$ купюр. Коля заплатил бы $15 \div 5 = 3$ купюры. Всего они дали $5 + 3 = 8$ купюр. 8 купюр \(< 15\) купюр, что соответствует условию. **Ответ: 15 рублей** 3. На каждой лестничной клетке 4 квартиры. Коля живет на пятом этаже в квартире 83. Квартиры с 1 по 4 находятся на 1 этаже. Квартиры с 5 по 8 находятся на 2 этаже. Квартиры с 9 по 12 находятся на 3 этаже. Чтобы найти этаж, на котором находится квартира, нужно номер квартиры разделить на количество квартир на этаже и округлить в большую сторону. Этаж Коли: $83 \div 4 = 20,75$. Округляем в большую сторону, получаем 21 этаж. Это значит, что Коля живет на 21 этаже, а не на 5-м. Вероятно, в задаче подразумевается, что квартиры нумеруются по-другому, либо есть ошибка в условии. Допустим, что Коля живёт на 5 этаже, а квартира 83 - это номер в общем списке квартир, и на каждом этаже их по 4. Тогда Рассчитаем максимальный номер квартиры на каждом этаже: 1 этаж: $1 \cdot 4 = 4$ 2 этаж: $2 \cdot 4 = 8$ 3 этаж: $3 \cdot 4 = 12$ и так далее. Номер квартиры Коли - 83. Этаж, на котором живёт Коля, можно найти, разделив номер квартиры на количество квартир на этаже и округлив в большую сторону: $83 \div 4 = 20,75 \approx 21$. Значит, Коля живёт на 21 этаже. Номер квартиры Васи - 169. Аналогично: $169 \div 4 = 42,25 \approx 43$. Значит, Вася живёт на 43 этаже. Так как Вася живёт на 3-м этаже, а номер его квартиры 169, и на каждой лестничной клетке 4 квартиры, то это означает, что нумерация квартир начинается с 1 на каждом этаже или в подъезде, а не сквозная. **Допущение: В задаче есть ошибка в условии, так как при сквозной нумерации Коля живет на 21 этаже, а не на 5-м, и Вася живет на 43 этаже, а не на 3-м.** Давай предположим, что 5-й и 3-й этажи — это просто данные, а номера квартир даны для другой цели. Или же, что на одном этаже может быть больше одной лестничной клетки. Если на каждой лестничной клетке 4 квартиры, и Коля живет на 5-м этаже, а Вася на 3-м этаже, то это не дает нам информацию о количестве этажей в доме. **Недостаточно данных для решения** 4. Дано число 25762. Нужно дописать одну цифру так, чтобы число делилось на 36. Число делится на 36, если оно делится на 4 и на 9. Признак делимости на 4: число, образованное последними двумя цифрами, должно делиться на 4. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9. Сумма цифр числа 25762: $2 + 5 + 7 + 6 + 2 = 22$. Рассмотрим варианты дописывания цифры: **Вариант 1: дописываем цифру в конец числа.** Число будет иметь вид 25762X. Последние две цифры будут 2X. Чтобы 2X делилось на 4, X может быть 0, 4, 8. (20, 24, 28) Если X = 0, число 257620. Сумма цифр: $22 + 0 = 22$. Не делится на 9. Если X = 4, число 257624. Сумма цифр: $22 + 4 = 26$. Не делится на 9. Если X = 8, число 257628. Сумма цифр: $22 + 8 = 30$. Не делится на 9. **Вариант 2: дописываем цифру в начало числа.** Число будет иметь вид X25762. Последние две цифры 62. 62 не делится на 4 (62/4 = 15,5). Значит, этот вариант не подходит. **Вариант 3: дописываем цифру после первой цифры.** Число будет иметь вид 2X5762. Последние две цифры 62. Не делится на 4. **Вариант 4: дописываем цифру после второй цифры.** Число будет иметь вид 25X762. Последние две цифры 62. Не делится на 4. **Вариант 5: дописываем цифру после третьей цифры.** Число будет иметь вид 257X62. Последние две цифры 62. Не делится на 4. **Вариант 6: дописываем цифру после четвертой цифры.** Число будет иметь вид 2576X2. Чтобы X2 делилось на 4, X может быть 1, 3, 5, 7, 9. (12, 32, 52, 72, 92) Сумма цифр будет $22 + X$. Если X = 1, число 257612. Сумма цифр $22 + 1 = 23$. Не делится на 9. Если X = 3, число 257632. Сумма цифр $22 + 3 = 25$. Не делится на 9. Если X = 5, число 257652. Сумма цифр $22 + 5 = 27$. Делится на 9. И 52 делится на 4. Значит, цифра 5, дописанная после цифры 6, делает число 257652, которое делится на 36. **Ответ: Нужно дописать цифру 5 на пятое место (после 6).** 5. У нас есть число 97. Нужно приписать по одной цифре слева и справа так, чтобы получилось новое число, которое будет делиться на 27. Пусть число будет иметь вид $X97Y$. Число должно делиться на 27. Это значит, что оно должно делиться на 3 и на 9. Если число делится на 9, то сумма его цифр должна делиться на 9. Сумма цифр: $X + 9 + 7 + Y = X + Y + 16$. Чтобы $X + Y + 16$ делилось на 9, $X + Y$ может быть 2, 11, 20 (так как $X$ и $Y$ — это цифры от 0 до 9, $X \neq 0$). Максимальная сумма $X+Y$ это $9+9=18$, так что $X+Y$ не может быть 20. Значит, $X + Y$ может быть 2 или 11. Теперь проверим делимость на 27. Число $X97Y$ можно записать как $1000X + 970 + Y$. Перебираем пары $(X, Y)$ для $X+Y=2$: - $X=1, Y=1$. Число 1971. $1+9+7+1 = 18$. Делится на 9. $1971 \div 27 = 73$. Делится на 27. Перебираем пары $(X, Y)$ для $X+Y=11$: - $X=2, Y=9$. Число 2979. $2+9+7+9 = 27$. Делится на 9. $2979 \div 27 = 110,33...$ Не делится на 27. - $X=3, Y=8$. Число 3978. $3+9+7+8 = 27$. Делится на 9. $3978 \div 27 = 147,33...$ Не делится на 27. - $X=4, Y=7$. Число 4977. $4+9+7+7 = 27$. Делится на 9. $4977 \div 27 = 184,33...$ Не делится на 27. - $X=5, Y=6$. Число 5976. $5+9+7+6 = 27$. Делится на 9. $5976 \div 27 = 221,33...$ Не делится на 27. - $X=6, Y=5$. Число 6975. $6+9+7+5 = 27$. Делится на 9. $6975 \div 27 = 258,33...$ Не делится на 27. - $X=7, Y=4$. Число 7974. $7+9+7+4 = 27$. Делится на 9. $7974 \div 27 = 295,33...$ Не делится на 27. - $X=8, Y=3$. Число 8973. $8+9+7+3 = 27$. Делится на 9. $8973 \div 27 = 332,33...$ Не делится на 27. - $X=9, Y=2$. Число 9972. $9+9+7+2 = 27$. Делится на 9. $9972 \div 27 = 369,33...$ Не делится на 27. **Ответ: Нужно приписать цифру 1 слева и 1 справа (получится число 1971).** 6. Пусть делитель будет $d$, частное будет $q$, делимое будет $D$. Из условия задачи знаем: 1. $D = 6d$ (делимое в шесть раз больше делителя) 2. $d = 6q$ (делитель в шесть раз больше частного) Из второго уравнения подставим $d$ в первое: $D = 6 \cdot (6q)$ $D = 36q$ Также, по определению деления, $D = d \cdot q$. Подставим $D = 36q$ и $d = 6q$ в это уравнение: $36q = (6q) \cdot q$ $36q = 6q^2$ Разделим обе части на $6q$ (предполагаем, что $q \neq 0$, иначе делитель и делимое тоже будут равны 0, что не имеет смысла для данной задачи): $36 = 6q$ $q = 36 \div 6$ $q = 6$ Теперь найдем делитель $d$: $d = 6q = 6 \cdot 6 = 36$ И найдем делимое $D$: $D = 6d = 6 \cdot 36 = 216$ Проверим: $216 \div 36 = 6$. Все верно. **Ответ: Делимое = 216, делитель = 36, частное = 6.** 7. Количество черепашек было больше 50, но меньше 100. Это значит, что их количество $N$ находится в диапазоне $50 < N < 100$. Не удавалось построить рядами по 2, 3 или 4 животных, так как одного животного всегда не хватало в последнем ряду. Это значит, что если бы к $N$ прибавить 1, то новое число $N+1$ делилось бы без остатка на 2, на 3 и на 4. Нам нужно найти число $N+1$, которое делится на НОК(2, 3, 4). НОК(2, 3, 4): 2 = 2 3 = 3 4 = $2^2$ НОК(2, 3, 4) = $2^2 \cdot 3 = 4 \cdot 3 = 12$. Значит, $N+1$ должно быть кратно 12. Найдем кратные 12 в диапазоне $50 < N < 100$: Так как $N$ находится в диапазоне от 51 до 99 (включительно), то $N+1$ будет находиться в диапазоне от 52 до 100 (включительно). Кратные 12: $12 \cdot 1 = 12$ $12 \cdot 2 = 24$ $12 \cdot 3 = 36$ $12 \cdot 4 = 48$ $12 \cdot 5 = 60$ $12 \cdot 6 = 72$ $12 \cdot 7 = 84$ $12 \cdot 8 = 96$ Из этих чисел, те, что попадают в диапазон от 52 до 100: 60, 72, 84, 96. Это значения для $N+1$. Теперь найдем $N$ для каждого из них: Если $N+1 = 60$, то $N = 59$. Если $N+1 = 72$, то $N = 71$. Если $N+1 = 84$, то $N = 83$. Если $N+1 = 96$, то $N = 95$. **Ответ: Количество черепашек может быть 59, 71, 83 или 95.**