Найдите объем правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 5 см и 10 см, а высота — 9 см.

Для начала найдем площади оснований. Поскольку пирамида правильная треугольная, её основания — это равносторонние треугольники. Площадь равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $$S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$$ 1. Площадь меньшего основания ($a_1 = 5$ см): $$S_1 = \frac{5^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25\sqrt{3}}{4}\,\text{см}^2$$ 2. Площадь большего основания ($a_2 = 10$ см): $$S_2 = \frac{10^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{100\sqrt{3}}{4} = 25\sqrt{3}\,\text{см}^2$$ Теперь используем формулу для объёма усечённой пирамиды: $$V = \frac{1}{3} h (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 S_2})$$ где $h = 9$ см — высота. Подставляем значения: $$V = \frac{1}{3} \cdot 9 \left( \frac{25\sqrt{3}}{4} + 25\sqrt{3} + \sqrt{\frac{25\sqrt{3}}{4} \cdot 25\sqrt{3}} \right)$$ $$V = 3 \left( \frac{25\sqrt{3}}{4} + \frac{100\sqrt{3}}{4} + \sqrt{\frac{625 \cdot 3}{4}} \right)$$ $$V = 3 \left( \frac{125\sqrt{3}}{4} + \frac{25\sqrt{3}}{2} \right)$$ $$V = 3 \left( \frac{125\sqrt{3}}{4} + \frac{50\sqrt{3}}{4} \right)$$ $$V = 3 \left( \frac{175\sqrt{3}}{4} \right)$$ $$V = \frac{525\sqrt{3}}{4}\,\text{см}^3$$ **Ответ:** $\frac{525\sqrt{3}}{4}\,\text{см}^3$