На стороне $BC$ ромба $ABCD$ лежит точка $R$ так, что $BR = RC$, $O$ — точка пересечения диагоналей. Выразите векторы $\vec{AO}$, $\vec{AR}$, $\vec{RD}$ через векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{DA}$.

1. Выразим вектор $\vec{AO}$. В ромбе $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит $O$ — середина $AC$. По правилу треугольника $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$. Поскольку $ABCD$ — ромб, то $\vec{BC} = \vec{AD}$. По условию $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{DA} = \vec{b}$. Следовательно, $\vec{AD} = -\vec{DA} = -\vec{b}$. Тогда $\vec{AC} = \vec{a} - \vec{b}$. Вектор $\vec{AO}$ равен половине вектора $\vec{AC}$: $$ \vec{AO} = \frac{1}{2} \vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b}) $$ 2. Выразим вектор $\vec{AR}$. Точка $R$ лежит на стороне $BC$, и $BR = RC$. Это значит, что $R$ — середина отрезка $BC$. Вектор $\vec{AR}$ можно найти как сумму векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BR}$: $$ \vec{AR} = \vec{AB} + \vec{BR} $$ Мы знаем, что $\vec{AB} = \vec{a}$. Так как $R$ — середина $BC$, то $\vec{BR} = \frac{1}{2} \vec{BC}$. Как мы уже выяснили, $\vec{BC} = \vec{AD} = -\vec{b}$. Тогда $\vec{BR} = \frac{1}{2} (-\vec{b}) = -\frac{1}{2} \vec{b}$. Подставим эти значения в выражение для $\vec{AR}$: $$ \vec{AR} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} $$ 3. Выразим вектор $\vec{RD}$. Вектор $\vec{RD}$ можно представить как разность векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AR}$ (или как $\vec{CD} - \vec{CR}$): $$ \vec{RD} = \vec{AD} - \vec{AR} $$ Мы знаем, что $\vec{AD} = -\vec{b}$ и $\vec{AR} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$. Подставим эти значения: $$ \vec{RD} = -\vec{b} - (\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}) = -\vec{b} - \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} $$ **Ответ:** * $\vec{AO} = \frac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$ * $\vec{AR} = \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$ * $\vec{RD} = -\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b}$