Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение $(|x+2|+|x-a|)^2 - 5 \cdot (|x+2|+|x-a|) + 3a(5-3a) = 0$ имеет ровно два различных решения.

Пусть $y = |x + 2| + |x - a|$. Тогда уравнение принимает вид: $$y^2 - 5y + 3a(5 - 3a) = 0$$ Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3a(5 - 3a) = 25 - 60a + 36a^2 = (6a - 5)^2$$ Тогда корни $y_1, y_2$ равны: $$y = \frac{5 \pm \sqrt{(6a - 5)^2}}{2} = \frac{5 \pm |6a - 5|}{2}$$ Разберем два случая: **Случай 1:** $6a - 5 \ge 0 \Rightarrow a \ge \frac{5}{6}$ $$y_1 = \frac{5 + (6a - 5)}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$$ $$y_2 = \frac{5 - (6a - 5)}{2} = \frac{10 - 6a}{2} = 5 - 3a$$ **Случай 2:** $6a - 5 < 0 \Rightarrow a < \frac{5}{6}$ $$y_1 = \frac{5 - (6a - 5)}{2} = \frac{10 - 6a}{2} = 5 - 3a$$ $$y_2 = \frac{5 + (6a - 5)}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$$ Как видно, корни $y_1$ и $y_2$ просто меняются местами. Получаем два возможных значения для $y$: $y = 3a$ или $y = 5 - 3a$. Рассмотрим функцию $f(x) = |x + 2| + |x - a|$. Это сумма расстояний от точки $x$ до точек $-2$ и $a$ на числовой прямой. 1. Если $-2 = a$, то $f(x) = |x + 2| + |x + 2| = 2|x + 2|$. В этом случае $f(x) = 2|x + 2| \ge 0$. Минимальное значение $f(x) = 0$ при $x = -2$. Тогда $y = 0$, и наше уравнение $y^2 - 5y + 3a(5 - 3a) = 0$ превращается в $0 - 0 + 3(-2)(5 - 3(-2)) = 0$, то есть $-6(11) = 0$, что неверно. Значит, $a \neq -2$. 2. Если $-2 \neq a$, то функция $f(x) = |x + 2| + |x - a|$ имеет минимальное значение, равное расстоянию между $-2$ и $a$, то есть $|-2 - a|$. Это минимальное значение достигается на отрезке между $-2$ и $a$ (включая концы). - Если $x \le \min(-2, a)$, то $f(x) = -(x+2) - (x-a) = -2x + a - 2$. Функция убывает. - Если $x \ge \max(-2, a)$, то $f(x) = (x+2) + (x-a) = 2x - a + 2$. Функция возрастает. - Если $x$ находится между $-2$ и $a$ (включительно), то $f(x) = |x+2| + |x-a| = x+2 - (x-a) = a+2$ (если $-2 < a$) или $f(x) = -(x+2) + x-a = -2-a$ (если $a < -2$). В обоих случаях $f(x) = |a - (-2)| = |a+2|$. То есть $f(x) \ge |a+2|$. Для того чтобы уравнение имело ровно два различных решения, нужно, чтобы: А) Одно из значений $y$ (например, $y_1$) было равно $|a+2|$ и имело бесконечно много решений для $x$, а другое значение $y_2$ не имело решений или имело 2 решения. Или Б) Оба значения $y_1$ и $y_2$ были больше $|a+2|$ и каждое из них давало по одному решению для $x$. Или В) Одно значение $y$ было равно $|a+2|$ и имело бесконечно много решений, а другое $y_2 > |a+2|$ давало два решения. Это даст бесконечно много решений, что нам не подходит. Нам нужно, чтобы было ровно два *различных* решения $x$. Рассмотрим условия для $y$: $y \ge |a+2|$. **Вариант 1: $y_1 = 3a$ и $y_2 = 5 - 3a$** Для того чтобы $y = |x+2| + |x-a|$ имело два решения, нужно, чтобы $y > |a+2|$. Если $y = |a+2|$, то решений бесконечно много (целый интервал). Мы хотим получить ровно два различных решения для $x$. Это возможно, если: 1. Одно из значений $y$ равно $|a+2|$, а второе значение $y$ либо равно $0$ (что невозможно, так как $|a+2| > 0$ если $a \ne -2$), либо $y < |a+2|$ (нет решений), либо $y$ равно $|a+2|$ и тогда будет бесконечно много решений. 2. Оба значения $y$ ($y_1$ и $y_2$) больше $|a+2|$, и при этом $y_1 \ne y_2$. В этом случае каждое значение $y$ даст по два решения $x$. Итого 4 решения, что нам не подходит. 3. Если $y_1 = y_2$, то $(6a-5)^2=0$, то есть $a = 5/6$. Тогда $y = 3a = 3(5/6) = 5/2$. И $y = 5-3a = 5-3(5/6)=5/2$. В этом случае $y=5/2$. Мы должны иметь ровно два решения для $x$. Значит, $y = 5/2$ должно быть больше $|a+2|$. При $a=5/6$, $|a+2| = |5/6+2| = |17/6| = 17/6$. Сравним $5/2$ и $17/6$: $5/2 = 15/6$. $15/6 < 17/6$. Поскольку $y = 15/6 < 17/6 = |a+2|$, то решений для $x$ нет. Значит, $a=5/6$ не подходит. Таким образом, для того, чтобы было ровно два решения, нужно, чтобы один из корней $y$ был равен $|a+2|$ (даёт бесконечно много решений $x$), а второй корень $y$ не давал решений (то есть $y < |a+2|$). НО ЗАДАЧА ТРЕБУЕТ РОВНО ДВА РАЗЛИЧНЫХ РЕШЕНИЯ $x$. Бесконечно много решений нам не подходит. Значит, оба корня $y_1$ и $y_2$ должны быть больше, чем $|a+2|$. В этом случае каждое значение $y$ даст два решения $x$. Чтобы их было ровно два, нужно, чтобы $y_1 = y_2$ и $y_1 > |a+2|$. Но мы уже рассмотрели случай $y_1 = y_2 \implies a = 5/6$. Тогда $y=5/2$ и $|a+2|=17/6$. И $y < |a+2|$, то есть нет решений. Что же тогда? Единственный вариант, это когда $y_1$ или $y_2$ равно $0$. $y = |x+2| + |x-a| \ge 0$. Равенство нулю возможно только если $x+2=0$ и $x-a=0$, то есть $x=-2$ и $x=a$. Это значит $-2=a$. Если $a=-2$, то $y_1 = 3(-2) = -6$, $y_2 = 5 - 3(-2) = 11$. $y = |x+2| + |x-(-2)| = |x+2| + |x+2| = 2|x+2|$. Значит, $2|x+2| = -6$ (нет решений) или $2|x+2| = 11$. $2|x+2|=11 \implies |x+2| = 11/2 \implies x+2 = \pm 11/2$. $x_1 = 11/2 - 2 = 7/2 = 3.5$ $x_2 = -11/2 - 2 = -15/2 = -7.5$ В этом случае получаем ровно два решения. Значит, $a=-2$ подходит. Теперь рассмотрим случай, когда $a \ne -2$. Тогда $y = |x+2| + |x-a|$. Минимальное значение $y_{min} = |a+2|$. Если $y_1 = |a+2|$ и $y_2 = |a+2|$, то $3a = |a+2|$ и $5-3a = |a+2|$. Это означает, что $3a = 5-3a ightarrow 6a=5 ightarrow a=5/6$. Если $a=5/6$, то $y = 5/2$. $|a+2| = |5/6+2| = 17/6$. $y=5/2=15/6 < 17/6 = |a+2|$. В этом случае решений для $x$ нет. Нам нужно, чтобы из корней $y_1, y_2$ ровно один корень давал два решения, а другой либо не давал решений, либо был равен $0$ и давал одно решение, но это невозможно, так как $y_{min}=|a+2|$ при $a \ne -2$. Чтобы было ровно два решения $x$, одно из значений $y$ должно быть больше $|a+2|$ (дает 2 решения), а другое значение $y$ должно быть меньше $|a+2|$ (не дает решений). Или одно из значений $y$ отрицательно (не дает решений). Напомню, что $y_1 = 3a$ и $y_2 = 5-3a$. И $y = |x+2| + |x-a| \ge |a+2|$. **Случай 1:** $3a > |a+2|$ и $5-3a < |a+2|$. **Случай 2:** $3a < |a+2|$ и $5-3a > |a+2|$. Рассмотрим $3a > 0$ и $5-3a > 0$, так как $y$ не может быть отрицательным (значение модуля). $3a > 0 \Rightarrow a > 0$. $5-3a > 0 \Rightarrow 3a < 5 \Rightarrow a < 5/3$. Значит, $0 < a < 5/3$. Рассмотрим случаи для $|a+2|$: Если $a+2 \ge 0 \Rightarrow a \ge -2$. Все наши $a$ из интервала $(0, 5/3)$ удовлетворяют этому условию. Значит, $|a+2| = a+2$. **Теперь условия:** 1. $3a > a+2$ и $5-3a < a+2$ $2a > 2 \Rightarrow a > 1$ $3 < 4a \Rightarrow a > 3/4$ Объединяя, получаем $a > 1$. Итак, при $a > 1$ у нас $y_1 = 3a$ дает 2 решения, а $y_2 = 5-3a$ не дает решений. Проверим: Если $a \in (1, 5/3)$, то $3a > 3$ и $a+2 > 3$. А $5-3a < 5-3 = 2$. $a+2$ при $a=1.1$ это $3.1$. $5-3(1.1) = 5-3.3 = 1.7$. $1.7 < 3.1$. Верно. Значит, $a \in (1, 5/3)$ подходит. 2. $3a < a+2$ и $5-3a > a+2$ $2a < 2 \Rightarrow a < 1$ $3 > 4a \Rightarrow a < 3/4$ Объединяя, получаем $a < 3/4$. Итак, при $a < 3/4$ у нас $y_1 = 3a$ не дает решений, а $y_2 = 5-3a$ дает 2 решения. Проверим: Если $a \in (0, 3/4)$, то $3a < 3(3/4) = 9/4 = 2.25$. А $a+2 > 2$. $5-3a > 5-3(3/4) = 5 - 9/4 = 11/4 = 2.75$. При $a=0.5$: $3a=1.5$. $a+2=2.5$. $1.5 < 2.5$. Верно. При $a=0.5$: $5-3a = 5-1.5 = 3.5$. $a+2 = 2.5$. $3.5 > 2.5$. Верно. Значит, $a \in (0, 3/4)$ подходит. Остается случай $a=0$ или $a=5/3$. Если $a=0$: $y_1=0$, $y_2=5$. $|a+2|=|0+2|=2$. $y_1=0$. $y_{min}=2$. $0 < 2$. Нет решений от $y_1$. $y_2=5$. $5 > 2$. Два решения от $y_2$. Итак, $a=0$ подходит. Если $a=5/3$: $y_1=3(5/3)=5$, $y_2=5-3(5/3)=0$. $|a+2|=|5/3+2|=11/3$. $y_1=5$. $5 = 15/3 > 11/3$. Два решения от $y_1$. $y_2=0$. $0 < 11/3$. Нет решений от $y_2$. Итак, $a=5/3$ подходит. Объединяем интервалы и точки: $a \in [0, 3/4) \cup (1, 5/3]$. И не забываем про $a=-2$, который мы нашли в начале. **Ответ:** $a \in \{-2\} \cup [0, 3/4) \cup (1, 5/3]$