Найдите периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность радиуса $r=4$ см, если гипотенуза равна 26 см

1. Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, в который вписана окружность, можно использовать формулу: $$P = 2(r + c)$$, где $P$ — периметр, $r$ — радиус вписанной окружности, $c$ — гипотенуза.\nВ нашем случае $r = 4$ см, $c = 26$ см.\n$$P = 2(4 + 26) = 2 \cdot 30 = 60$$ см.\n\n**Ответ:** 60 см\n\n2. Если точка касания делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см, то гипотенуза равна $c = 5 + 12 = 17$ см.\nКатеты прямоугольного треугольника можно найти по формулам: $a = x + r$ и $b = y + r$, где $x$ и $y$ — отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, а $r$ — радиус вписанной окружности. В нашем случае $x = 5$ см и $y = 12$ см.\nРадиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ или $r = \frac{xy}{x+y}$ (эта формула неверна, правильная формула для радиуса через отрезки гипотенузы: $r = \sqrt{xy}$ в случае, если отрезки образуются точкой касания, делящей гипотенузу на части). Нет, правильная формула для радиуса вписанной окружности через отрезки гипотенузы $x$ и $y$ (если отрезки гипотенузы, на которые делится точка касания, это $x$ и $y$, и они прилегают к соответствующим катетам), а катеты будут $a = x + r$ и $b = y + r$. Мы знаем, что отрезки касательных из одной вершины равны.\nПусть катеты будут $a$ и $b$. Точка касания делит гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Пусть $a_1=5$ см и $b_1=12$ см - это длины отрезков, на которые точка касания делит гипотенузу. Тогда катеты можно выразить как $a = r + x$ и $b = r + y$, где $x$ и $y$ - длины отрезков, на которые точка касания делит гипотенузу, но это не так. Отрезки, на которые точка касания делит гипотенузу, это $c_1$ и $c_2$. Тогда катеты будут $a = r + c_1$ и $b = r + c_2$.\nИспользуем формулу: $r = \frac{a+b-c}{2}$.\nМы знаем, что $c = 5 + 12 = 17$ см.\nТакже известно, что катеты равны $a = 5 + r$ и $b = 12 + r$ (это отрезки касательных к окружности, проведенных из вершин острого угла). Тогда\n$$r = \frac{(5+r) + (12+r) - 17}{2}$$\n$$2r = 5 + r + 12 + r - 17$$\n$$2r = 17 + 2r - 17$$\n$$2r = 2r$$\nЭто уравнение приводит к тождеству, что означает, что $r$ может быть любым числом, что неверно.\n\nДавай используем другой подход.\nПо свойству отрезков касательных, проведенных из вершин треугольника к вписанной окружности, мы знаем, что если отрезки гипотенузы, на которые точка касания делит гипотенузу, равны $x$ и $y$, то катеты равны $r+x$ и $r+y$. (Это не совсем точно: отрезки касательных, проведенные из вершины к окружности, равны. То есть, если вершина прямого угла $C$, а вершины острых углов $A$ и $B$, то отрезки $CD_1 = CD_2 = r$, $AD_2 = AF = x$, $BD_1 = BE = y$. Тогда гипотенуза $AB = x+y$).\nВ задании сказано, что точка касания делит *гипотенузу* на отрезки 5 см и 12 см. Пусть это будут отрезки $x=5$ см и $y=12$ см. Тогда гипотенуза $c = x + y = 5 + 12 = 17$ см.\nРадиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник $r$ может быть найден по формуле: $r = x \cdot y / (x+y)$, если $x$ и $y$ — это длины отрезков, на которые делятся катеты точкой касания с окружностью, что не наш случай. \n\nПравильная формула для прямоугольного треугольника: $r = \frac{a+b-c}{2}$.\nТакже, известно, что отрезки касательных, проведенных из вершины прямого угла к вписанной окружности, равны радиусу. Отрезки касательных, проведенных из острых углов, равны $x$ и $y$. То есть, катеты $a = r+x$ и $b = r+y$. В нашем случае отрезки гипотенузы равны 5 и 12. Это означает, что $x=5$ и $y=12$ (отрезки касательных от вершин острых углов до точки касания с гипотенузой). \nТогда катеты равны $a = r + 5$ и $b = r + 12$.\nПрименяем теорему Пифагора: $a^2 + b^2 = c^2$.\n$$(r+5)^2 + (r+12)^2 = 17^2$$\n$$r^2 + 10r + 25 + r^2 + 24r + 144 = 289$$\n$$2r^2 + 34r + 169 = 289$$\n$$2r^2 + 34r + 169 - 289 = 0$$\n$$2r^2 + 34r - 120 = 0$$\nРазделим все на 2:\n$$r^2 + 17r - 60 = 0$$\nНаходим дискриминант:\n$$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60) = 289 + 240 = 529$$\n$$\sqrt{D} = \sqrt{529} = 23$$\nНаходим корни уравнения:\n$$r_1 = \frac{-17 + 23}{2} = \frac{6}{2} = 3$$\n$$r_2 = \frac{-17 - 23}{2} = \frac{-40}{2} = -20$$\nРадиус не может быть отрицательным, поэтому $r = 3$ см.\n\n**Ответ:** 3 см