Параллельны ли прямые m и n (рис. 3.46)?

1. Чтобы определить, параллельны ли прямые $m$ и $n$, нужно посмотреть на углы, образованные секущей $k$. Если прямые параллельны, то сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$. Внутренние односторонние углы — это углы $27^\circ$ и $153^\circ$. Их сумма: $27^\circ + 153^\circ = 180^\circ$. Так как сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, прямые $m$ и $n$ параллельны. **Ответ: Прямые $m$ и $n$ параллельны.** 2. **Дано:** $NF = PF$; $MF = QF$ (рис. 3.47). **Доказать:** $MN \parallel PQ$. Рассмотрим треугольники $\triangle MNF$ и $\triangle PQF$. 1. $NF = PF$ (по условию). 2. $MF = QF$ (по условию). 3. $\angle MFN = \angle QFP$ как вертикальные углы. Из пунктов 1, 2, 3 следует, что $\triangle MNF \cong \triangle PQF$ по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, то есть $\angle NMF = \angle PQF$ и $\angle MNF = \angle QPF$. Углы $\angle MNF$ и $\angle QPF$ являются накрест лежащими углами при прямых $MN$ и $PQ$ и секущей $NP$. Поскольку эти накрест лежащие углы равны, то прямые $MN$ и $PQ$ параллельны. Что и требовалось доказать. 3. **Дано:** $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$; $\angle 2 = \angle 3$ (рис. 3.48). **Доказать:** $a \parallel c$. 1. Нам дано, что $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. Углы $\angle 1$ и $\angle 2$ являются односторонними внутренними углами при прямых $a$ и $b$ и секущей. Если сумма односторонних внутренних углов равна $180^\circ$, то прямые параллельны. Значит, $a \parallel b$. 2. Нам дано, что $\angle 2 = \angle 3$. Углы $\angle 2$ и $\angle 3$ являются накрест лежащими углами при прямых $b$ и $c$ и секущей. Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, $b \parallel c$. 3. Если $a \parallel b$ и $b \parallel c$, то по свойству транзитивности параллельности прямых (если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны между собой), следует, что $a \parallel c$. Что и требовалось доказать.