Решите треугольник АВС, если угол А = 60°, сторона а = 10, сторона b = 7

1. Чтобы решить треугольник ABC, когда заданы угол $A = 60^\circ$, сторона $a = 10$ и сторона $b = 7$, будем использовать теорему синусов. По теореме синусов: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$$ Подставим известные значения: $$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{7}{\sin B}$$ Мы знаем, что $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда: $$\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sin B}$$ $$ \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sin B} $$ Отсюда выразим $\sin B$: $$\sin B = \frac{7 \cdot \sqrt{3}}{20}$$ Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1.732$, тогда: $$\sin B \approx \frac{7 \cdot 1.732}{20} \approx \frac{12.124}{20} \approx 0.6062$$ Теперь найдём угол $B$: $$B = \arcsin(0.6062)$$ $$B \approx 37.31^\circ$$ Мы также можем найти второй возможный угол $B'$, так как синус положительный в I и II четвертях: $$B' = 180^\circ - B \approx 180^\circ - 37.31^\circ \approx 142.69^\circ$$ Проверим, может ли существовать треугольник с углом $B'$: $A + B' = 60^\circ + 142.69^\circ = 202.69^\circ > 180^\circ$. Это невозможно, поэтому угол $B'$ нам не подходит. Итак, у нас есть углы $A = 60^\circ$ и $B \approx 37.31^\circ$. Найдём угол $C$: $$C = 180^\circ - A - B$$ $$C = 180^\circ - 60^\circ - 37.31^\circ$$ $$C = 120^\circ - 37.31^\circ$$ $$C = 82.69^\circ$$ Теперь найдём сторону $c$ с помощью теоремы синусов: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$$ $$\frac{10}{\sin 60^\circ} = \frac{c}{\sin 82.69^\circ}$$ $$\frac{10}{0.866} \approx \frac{c}{0.9918}$$ $$11.547 \approx \frac{c}{0.9918}$$ $$c \approx 11.547 \cdot 0.9918$$ $$c \approx 11.45$$ **Ответ:** $A = 60^\circ$ $a = 10$ $B \approx 37.31^\circ$ $b = 7$ $C \approx 82.69^\circ$ $c \approx 11.45$