Найдите объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями

Допущение: пирамида является правильной. Когда пирамиду пересекают плоскостями, параллельными основанию, то образуются меньшие пирамиды, подобные исходной. Отношение объёмов подобных тел равно кубу коэффициента подобия, а отношение площадей их оснований — квадрату коэффициента подобия. Пусть $V$ — объём исходной пирамиды, $S$ — площадь её основания. Пусть $V_1$ и $S_1$ — объём и площадь основания первой усечённой пирамиды (отсечённой первой плоскостью), $V_2$ и $S_2$ — объём и площадь основания второй усечённой пирамиды (отсечённой второй плоскостью). Дано: $S = 3 \text{ см}^2$ $V = 3 \text{ см}^3$ $S_1 = 1 \text{ см}^2$ $S_2 = 2 \text{ см}^2$ 1. Найдём коэффициент подобия $k_1$ для первой усечённой пирамиды: $$k_1^2 = \frac{S_1}{S} = \frac{1}{3}$$ $$k_1 = \sqrt{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$$ 2. Найдём объём $V_1$ первой отсечённой пирамиды: $$V_1 = k_1^3 \cdot V = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^3 \cdot 3 = \frac{1}{3\sqrt{3}} \cdot 3 = \frac{1}{\sqrt{3}} \text{ см}^3$$ 3. Найдём коэффициент подобия $k_2$ для второй усечённой пирамиды: $$k_2^2 = \frac{S_2}{S} = \frac{2}{3}$$ $$k_2 = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$$ 4. Найдём объём $V_2$ второй отсечённой пирамиды: $$V_2 = k_2^3 \cdot V = \left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\right)^3 \cdot 3 = \frac{2\sqrt{2}}{3\sqrt{3}} \cdot 3 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \text{ см}^3$$ 5. Объём части пирамиды, расположенной между секущими плоскостями, можно найти как разность объёмов $V_2 - V_1$: $$V_{между} = V_2 - V_1 = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{\sqrt{3}} \text{ см}^3$$ Можно избавиться от иррациональности в знаменателе: $$V_{между} = \frac{(2\sqrt{2} - 1)\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3} \text{ см}^3$$ **Ответ:** $\frac{2\sqrt{6} - \sqrt{3}}{3}$ см$^3$