Найдите углы треугольника с вершинами A(-1; \sqrt{3}), B(1; -\sqrt{3}) и C(1/2; \sqrt{3}/2).

1. Найдем векторы, образующие стороны треугольника: $$\vec{AB} = B - A = (1 - (-1); -\sqrt{3} - \sqrt{3}) = (2; -2\sqrt{3})$$ $$\vec{AC} = C - A = (\frac{1}{2} - (-1); \frac{\sqrt{3}}{2} - \sqrt{3}) = (\frac{3}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2})$$ $$\vec{BC} = C - B = (\frac{1}{2} - 1; \frac{\sqrt{3}}{2} - (-\sqrt{3})) = (-\frac{1}{2}; \frac{3\sqrt{3}}{2})$$ 2. Найдем длины этих векторов (сторон треугольника): $$|\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + (-2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 4 \cdot 3} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$$ $$|\vec{AC}| = \sqrt{(\frac{3}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{12}{4}} = \sqrt{3}$$ $$|\vec{BC}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{3\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{9 \cdot 3}{4}} = \sqrt{\frac{1 + 27}{4}} = \sqrt{\frac{28}{4}} = \sqrt{7}$$ 3. Найдем косинусы углов с помощью формулы скалярного произведения векторов: Угол A (между $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$): $$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}|} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2} + (-2\sqrt{3}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})}{4 \cdot \sqrt{3}} = \frac{3 + 3}{4\sqrt{3}} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$A = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$$ Угол B (между $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$), где $\vec{BA} = -\vec{AB} = (-2; 2\sqrt{3})$: $$\cos B = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}|} = \frac{(-2) \cdot (-\frac{1}{2}) + (2\sqrt{3}) \cdot (\frac{3\sqrt{3}}{2})}{4 \cdot \sqrt{7}} = \frac{1 + 9}{4\sqrt{7}} = \frac{10}{4\sqrt{7}} = \frac{5}{2\sqrt{7}} = \frac{5\sqrt{7}}{14}$$ $$B = \arccos(\frac{5\sqrt{7}}{14}) \approx \arccos(0.9449) \approx 19.1^\circ$$ Угол C (между $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$), где $\vec{CA} = -\vec{AC} = (-\frac{3}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ и $\vec{CB} = -\vec{BC} = (\frac{1}{2}; -\frac{3\sqrt{3}}{2})$: $$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}|} = \frac{(-\frac{3}{2}) \cdot (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{3\sqrt{3}}{2})}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}} = \frac{-\frac{3}{4} - \frac{9}{4}}{\sqrt{21}} = \frac{-\frac{12}{4}}{\sqrt{21}} = \frac{-3}{\sqrt{21}} = -\frac{3\sqrt{21}}{21} = -\frac{\sqrt{21}}{7}$$ $$C = \arccos(-\frac{\sqrt{21}}{7}) \approx \arccos(-0.6547) \approx 131.0^\circ$$ Проверим сумму углов: $30^\circ + 19.1^\circ + 131.0^\circ = 180.1^\circ$. Небольшая разница из-за округлений. **Ответ:** Углы треугольника приближенно равны $30^\circ$, $19.1^\circ$ и $131.0^\circ$.