Решите уравнение

Нам нужно решить уравнение: $$\frac{7-2x}{x^2-5x-6} + \frac{3}{x^2-9x+18} = \frac{1}{3-x}$$Сначала разложим знаменатели на множители. Для квадратных трёхчленов $ax^2+bx+c$, корни $x_1, x_2$ можно найти по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D=b^2-4ac$. Тогда $ax^2+bx+c = a(x-x_1)(x-x_2)$. Для первого знаменателя $x^2-5x-6=0$: $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$x_1 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5-7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$$ $$x_2 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5+7}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Значит, $x^2-5x-6 = (x+1)(x-6)$. Для второго знаменателя $x^2-9x+18=0$: $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9$$ $$x_1 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9-3}{2} = \frac{6}{2} = 3$$ $$x_2 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9+3}{2} = \frac{12}{2} = 6$$ Значит, $x^2-9x+18 = (x-3)(x-6)$. Третий знаменатель $3-x = -(x-3)$. Подставляем разложения в уравнение: $$\frac{7-2x}{(x+1)(x-6)} + \frac{3}{(x-3)(x-6)} = \frac{1}{-(x-3)}$$ $$\frac{7-2x}{(x+1)(x-6)} + \frac{3}{(x-3)(x-6)} = -\frac{1}{x-3}$$ Найдём общий знаменатель. Это $(x+1)(x-6)(x-3)$. Учитываем ограничения на $x$: $x \neq -1$, $x \neq 6$, $x \neq 3$. Приводим дроби к общему знаменателю: $$\frac{(7-2x)(x-3)}{(x+1)(x-6)(x-3)} + \frac{3(x+1)}{(x-3)(x-6)(x+1)} = -\frac{(x+1)(x-6)}{(x-3)(x+1)(x-6)}$$ Теперь, когда знаменатели одинаковые и мы учли ограничения, можем приравнять числители: $$(7-2x)(x-3) + 3(x+1) = -(x+1)(x-6)$$ Раскрываем скобки: $$7x - 21 - 2x^2 + 6x + 3x + 3 = -(x^2 - 6x + x - 6)$$ $$-2x^2 + 16x - 18 = -(x^2 - 5x - 6)$$ $$-2x^2 + 16x - 18 = -x^2 + 5x + 6$$ Переносим все слагаемые в одну сторону: $$-2x^2 + x^2 + 16x - 5x - 18 - 6 = 0$$ $$-x^2 + 11x - 24 = 0$$ Умножим всё на -1, чтобы старший коэффициент был положительным: $$x^2 - 11x + 24 = 0$$ Найдём корни этого квадратного уравнения. Используем теорему Виета или формулу дискриминанта. По теореме Виета: $x_1 + x_2 = 11$ и $x_1 \cdot x_2 = 24$. Подходят числа 3 и 8. $$x_1 = 3$$ $$x_2 = 8$$ Теперь проверим, удовлетворяют ли эти корни нашим ограничениям: $x \neq -1$, $x \neq 6$, $x \neq 3$. Корень $x_1 = 3$ не подходит, так как он делает знаменатели равными нулю ($x \neq 3$). Корень $x_2 = 8$ подходит, так как $8 \neq -1$, $8 \neq 6$, $8 \neq 3$. Поскольку в задании сказано, что если корней несколько, то нужно указать меньший, но у нас подошёл только один корень. Если бы оба корня подошли, то меньший был бы 3, но он не входит в ОДЗ. Значит, единственный подходящий корень - это 8. **Ответ: 8**