Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 3 часа, вернулись обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?

1. Обозначим расстояние, на которое отплыли туристы, за $S$ км. Скорость лодки по течению: $v_{\text{по течению}} = v_{\text{собственная}} + v_{\text{течения}} = 6 + 3 = 9$ км/ч. Скорость лодки против течения: $v_{\text{против течения}} = v_{\text{собственная}} - v_{\text{течения}} = 6 - 3 = 3$ км/ч. Время, потраченное на путь по течению: $t_{\text{туда}} = \frac{S}{9}$ ч. Время, потраченное на путь обратно: $t_{\text{обратно}} = \frac{S}{3}$ ч. Общее время путешествия (без учёта прогулки) равно $t_{\text{туда}} + t_{\text{обратно}}$. По условию, общее время путешествия (включая прогулку) составило 5 часов. Прогулка длилась 3 часа. Значит, время, потраченное на движение лодки, равно $5 - 3 = 2$ часа. Составим уравнение: $$\frac{S}{9} + \frac{S}{3} = 2$$ Приведём дроби к общему знаменателю (9): $$\frac{S}{9} + \frac{3S}{9} = 2$$ $$\frac{S + 3S}{9} = 2$$ $$\frac{4S}{9} = 2$$ Умножим обе части на 9: $$4S = 2 \cdot 9$$ $$4S = 18$$ Разделим на 4: $$S = \frac{18}{4}$$ $$S = 4,5$$ км. **Ответ: 4,5 км** 2. Пусть мастер делает $x$ деталей в час. Тогда ученик делает $x-4$ деталей в час. Время, за которое мастер изготовит 462 детали: $t_{\text{мастер}} = \frac{462}{x}$ часов. Время, за которое ученик изготовит 231 деталь: $t_{\text{ученик}} = \frac{231}{x-4}$ часов. По условию, ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер, на изготовление этих деталей. Составим уравнение: $$\frac{231}{x-4} - \frac{462}{x} = 11$$ Приведём к общему знаменателю $x(x-4)$: $$\frac{231x - 462(x-4)}{x(x-4)} = 11$$ $$231x - 462x + 1848 = 11x(x-4)$$ $$-231x + 1848 = 11x^2 - 44x$$ Перенесём все члены в одну сторону: $$11x^2 - 44x + 231x - 1848 = 0$$ $$11x^2 + 187x - 1848 = 0$$ Разделим всё уравнение на 11: $$x^2 + 17x - 168 = 0$$ Найдём дискриминант: $$D = b^2 - 4ac = 17^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-168) = 289 + 672 = 961$$ $$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$$ Найдём корни уравнения: $$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 + 31}{2} = \frac{14}{2} = 7$$ $$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-17 - 31}{2} = \frac{-48}{2} = -24$$ Скорость изготовления деталей не может быть отрицательной, поэтому $x = 7$ деталей в час — это скорость мастера. Ученик делает на 4 детали меньше, чем мастер: $x - 4 = 7 - 4 = 3$ детали в час. **Ответ: 3 детали в час**