Найдите значение выражения $4\sqrt{2} \cos \frac{\pi}{4} \cos \frac{7\pi}{3}$.

Для решения выражения нужно знать значения косинусов для углов $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{3}$. 1. Значение $\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)$: $$\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ 2. Значение $\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right)$: Угол $\frac{7\pi}{3}$ можно представить как $2\pi + \frac{\pi}{3}$. Поскольку функция косинуса имеет период $2\pi$, то $\cos(x+2\pi k) = \cos(x)$ для любого целого $k$. $$\cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = \cos\left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$$ Теперь подставляем найденные значения в исходное выражение: $$4\sqrt{2} \cdot \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\left(\frac{7\pi}{3}\right) = 4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$$ Выполняем умножение: $$4\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} = 4 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ **Ответ:** 2