В треугольнике АВС угол А равен 45°, угол В равен 30°, ВС = 8√2. Найдите АС.

Для решения этой задачи воспользуемся теоремой синусов. Теорема синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно для всех сторон треугольника. То есть: $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ В нашем случае даны: Угол $A = 45^\circ$ Угол $B = 30^\circ$ Сторона $BC = 8\sqrt{2}$ Нам нужно найти сторону $AC$. По теореме синусов, мы можем записать: $$\frac{BC}{\sin A} = \frac{AC}{\sin B}$$ Теперь подставим известные значения: $$\frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} = \frac{AC}{\sin 30^\circ}$$ Вспомним значения синусов: $$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$$ Подставляем эти значения в уравнение: $$\frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{AC}{\frac{1}{2}}$$ Упростим левую часть: $$\frac{8\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 16$$ Теперь уравнение выглядит так: $$16 = \frac{AC}{\frac{1}{2}}$$ Чтобы найти $AC$, умножим обе части на $\frac{1}{2}$: $$AC = 16 \cdot \frac{1}{2}$$ $$AC = 8$$ **Ответ:** $AC = 8$