2. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю равной $\sqrt{2\pi}$ см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

1. Найдем сторону квадрата. Пусть сторона квадрата равна $a$. Тогда по теореме Пифагора для диагонали квадрата $d$: $$d^2 = a^2 + a^2$$ $$d^2 = 2a^2$$ $$a = \frac{d}{\sqrt{2}}$$ Подставим значение диагонали $d = \sqrt{2\pi}$ см: $$a = \frac{\sqrt{2\pi}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\pi}$$ см. 2. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в квадрат, значит, высота цилиндра $h$ и длина окружности основания $L$ равны стороне квадрата $a$: $$h = a = \sqrt{\pi}$$ см $$L = 2\pi r = a = \sqrt{\pi}$$ см 3. Найдем радиус основания цилиндра $r$: $$2\pi r = \sqrt{\pi}$$ $$r = \frac{\sqrt{\pi}}{2\pi} = \frac{1}{2\sqrt{\pi}}$$ см. 4. Найдем площадь основания цилиндра $S_{осн}$: $$S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{1}{2\sqrt{\pi}}\right)^2 = \pi \cdot \frac{1}{4\pi} = \frac{1}{4}$$ см$^2$. 5. Площадь боковой поверхности цилиндра $S_{бок}$ равна площади квадрата: $$S_{бок} = a^2 = (\sqrt{\pi})^2 = \pi$$ см$^2$. 6. Найдем площадь полной поверхности цилиндра $S_{полн}$: $$S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн} = \pi + 2 \cdot \frac{1}{4} = \pi + \frac{1}{2}$$ см$^2$. **Ответ:** $\pi + \frac{1}{2}$ см$^2$.