Найдите значение выражения sin(4π/7) · cos(31π/42) - cos(4π/7) · sin(31π/42)

Нам нужно найти значение выражения: $$ \sin \frac{4\pi}{7} \cdot \cos \frac{31\pi}{42} - \cos \frac{4\pi}{7} \cdot \sin \frac{31\pi}{42} $$ Это выражение похоже на формулу синуса разности двух углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$. В нашем случае $\alpha = \frac{4\pi}{7}$ и $\beta = \frac{31\pi}{42}$. Применим формулу: $$ \sin \left( \frac{4\pi}{7} - \frac{31\pi}{42} \right) $$ Приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7 и 42 равен 42. $$ \frac{4\pi}{7} = \frac{4 \cdot 6 \pi}{7 \cdot 6} = \frac{24\pi}{42} $$ Теперь вычтем углы: $$ \frac{24\pi}{42} - \frac{31\pi}{42} = \frac{24\pi - 31\pi}{42} = \frac{-7\pi}{42} $$ Сократим дробь: $$ \frac{-7\pi}{42} = -\frac{\pi}{6} $$ Теперь нужно найти синус от получившегося угла: $$ \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) $$ Мы знаем, что $\sin(-x) = -\sin(x)$. Поэтому: $$ -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) $$ Значение $\sin \left( \frac{\pi}{6} \right)$ равно $\frac{1}{2}$. Получаем: $$ -\frac{1}{2} $$ **Ответ:** $-\frac{1}{2}$