Найдите угол между прямыми, заданными уравнениями: а) $$\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 4}{1}$$ и $$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 1}{4}$$

Чтобы найти угол между двумя прямыми, заданными каноническими уравнениями, нужно использовать направляющие векторы этих прямых. Уравнение прямой в канонической форме выглядит как: $$\frac{x - x_0}{l} = \frac{y - y_0}{m} = \frac{z - z_0}{n}$$ где $(l, m, n)$ — это координаты направляющего вектора прямой. Косинус угла $\phi$ между двумя прямыми с направляющими векторами $\vec{a_1} = (l_1, m_1, n_1)$ и $\vec{a_2} = (l_2, m_2, n_2)$ вычисляется по формуле: $$\cos \phi = \frac{|\vec{a_1} \cdot \vec{a_2}|}{|\vec{a_1}| \cdot |\vec{a_2}|} = \frac{|l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|}{\sqrt{l_1^2 + m_1^2 + n_1^2} \cdot \sqrt{l_2^2 + m_2^2 + n_2^2}}$$ а) Первая прямая: $$\frac{x - 2}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 4}{1}$$ Направляющий вектор $\vec{a_1} = (2, 2, 1)$. Вторая прямая: $$\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z + 1}{4}$$ Направляющий вектор $\vec{a_2} = (2, 4, 4)$. Вычислим скалярное произведение векторов: $$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (2)(2) + (2)(4) + (1)(4) = 4 + 8 + 4 = 16$$ Найдем длины векторов: $$|\vec{a_1}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$$ $$|\vec{a_2}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$$ Теперь найдем косинус угла: $$\cos \phi = \frac{|16|}{3 \cdot 6} = \frac{16}{18} = \frac{8}{9}$$ Угол $\phi = \arccos\left(\frac{8}{9}\right)$. **Ответ:** $\arccos\left(\frac{8}{9}\right)$ б) Первая прямая: $$\frac{x - 5}{-3} = \frac{y + 1}{12} = \frac{z + 2}{-4}$$ Направляющий вектор $\vec{a_1} = (-3, 12, -4)$. Вторая прямая: $$\frac{x + 7}{2} = \frac{y - 3}{3} = \frac{z - 4}{6}$$ Направляющий вектор $\vec{a_2} = (2, 3, 6)$. Вычислим скалярное произведение векторов: $$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = (-3)(2) + (12)(3) + (-4)(6) = -6 + 36 - 24 = 6$$ Найдем длины векторов: $$|\vec{a_1}| = \sqrt{(-3)^2 + 12^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13$$ $$|\vec{a_2}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$$ Теперь найдем косинус угла: $$\cos \phi = \frac{|6|}{13 \cdot 7} = \frac{6}{91}$$ Угол $\phi = \arccos\left(\frac{6}{91}\right)$. **Ответ:** $\arccos\left(\frac{6}{91}\right)$