Найдите сторону многоугольника и количество сторон многоугольника

1. Чтобы найти сторону правильного многоугольника, используем формулу для радиуса описанной окружности: $$R = \frac{a}{2\sin(\frac{180^\circ}{n})}$$ и для радиуса вписанной окружности: $$r = \frac{a}{2\tan(\frac{180^\circ}{n})}$$ где $a$ — сторона многоугольника, $n$ — количество сторон. Мы знаем $R = 2\sqrt{3}$ см и $r = 3$ см. Разделим формулу для $R$ на формулу для $r$: $$\frac{R}{r} = \frac{\frac{a}{2\sin(\frac{180^\circ}{n})}}{\frac{a}{2\tan(\frac{180^\circ}{n})}} = \frac{\tan(\frac{180^\circ}{n})}{\sin(\frac{180^\circ}{n})} = \frac{\frac{\sin(\frac{180^\circ}{n})}{\cos(\frac{180^\circ}{n})}}{\sin(\frac{180^\circ}{n})} = \frac{1}{\cos(\frac{180^\circ}{n})}$$ Теперь подставим известные значения: $$\frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\cos(\frac{180^\circ}{n})}$$ Отсюда: $$\cos(\frac{180^\circ}{n}) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит: $$\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$$ $$n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6$$ Итак, это правильный шестиугольник. Теперь найдём сторону $a$ с помощью радиуса описанной окружности: $$R = \frac{a}{2\sin(\frac{180^\circ}{n})}$$ $$2\sqrt{3} = \frac{a}{2\sin(30^\circ)}$$ $$2\sqrt{3} = \frac{a}{2 \cdot \frac{1}{2}}$$ $$2\sqrt{3} = a$$ **Ответ: 1) $2\sqrt{3}$ см; 2) 6**