Найдите площадь равнобедренной трапеции, у которой тупой угол равен $135^{\circ}$, а высота, проведённая из вершины этого угла, делит большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см.

1. В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Пусть трапеция будет $ABCD$, где $AD$ — большее основание, $BC$ — меньшее основание. $AB = CD$. Тупой угол равен $135^{\circ}$, значит $\angle B = \angle C = 135^{\circ}$. Тогда острые углы при основании $AD$ будут $\angle A = \angle D = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ}$. 2. Опустим высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AD$. Треугольник $ABH$ — прямоугольный, и так как $\angle A = 45^{\circ}$, то $\angle ABH = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}$. Значит, треугольник $ABH$ равнобедренный, и $AH = BH$. 3. Высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки $1.4$ см и $3.4$ см. Так как высота опущена из вершины $C$ (аналогично $BH$) на продолжение основания $AD$, то получаем два случая деления большего основания. **Допущение:** Высота проведена из вершины тупого угла $B$ к большему основанию $AD$. Это значит, что отрезок $HD$ будет состоять из двух частей $x$ и $y$ или $AD = AH + HD$. В равнобедренной трапеции, если провести две высоты из вершин меньшего основания, то они отсекут равные отрезки от большего основания. Предположим, что высота делит основание на отрезки $AH$ и $HD$. Если речь идёт о высоте, проведённой из тупого угла к большему основанию, то она делит его на два отрезка. Один из этих отрезков равен полуразности оснований, а другой — полусумме оснований. Однако, формулировка "делят большее основание на отрезки 1,4 см и 3,4 см" означает, что эти отрезки являются частями большего основания $AD$. То есть, $AD = 1.4 + 3.4 = 4.8$ см. (Это возможно, если высота $BH$ делит основание $AD$ на $AH$ и $HD$, где $AH$ и $HD$ равны $1.4$ см и $3.4$ см в каком-то порядке.) Пусть $AH = 1.4$ см, $HD = 3.4$ см. Так как $AH = BH$ (из пункта 2), то $BH = 1.4$ см. 4. В равнобедренной трапеции, если опустить две высоты $BH$ и $CK$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $AD$, то $AH = KD$. А $BC = HK$. Если $AH = 1.4$ см, то $KD = 1.4$ см. Тогда $BC = AD - AH - KD = 4.8 - 1.4 - 1.4 = 4.8 - 2.8 = 2$ см. Теперь у нас есть оба основания: $AD = 4.8$ см и $BC = 2$ см. Высота $h = BH = 1.4$ см. 5. Площадь трапеции вычисляется по формуле: $$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$$ где $a$ и $b$ — длины оснований, $h$ — высота. $$S = \frac{AD+BC}{2} \cdot BH = \frac{4.8 + 2}{2} \cdot 1.4 = \frac{6.8}{2} \cdot 1.4 = 3.4 \cdot 1.4$$ $$S = 4.76 \text{ см}^2$$ **Ответ:** $4.76 \text{ см}^2$