Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к равным сторонам, равны.

Пусть даны два равных треугольника $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$. Раз они равны, это значит, что у них все соответствующие стороны и углы равны. То есть: * $AB = A_1B_1$ * $BC = B_1C_1$ * $AC = A_1C_1$ * $\angle A = \angle A_1$ * $\angle B = \angle B_1$ * $\angle C = \angle C_1$ Предположим, что медианы проведены к равным сторонам $AC$ и $A_1C_1$. Пусть $BM$ — медиана в $\triangle ABC$, а $B_1M_1$ — медиана в $\triangle A_1B_1C_1$. По определению медианы, $M$ — середина $AC$, а $M_1$ — середина $A_1C_1$. Так как $AC = A_1C_1$, то и их половины тоже равны: $AM = MC = A_1M_1 = M_1C_1$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle A_1B_1M_1$. У них есть: 1. $AB = A_1B_1$ (так как треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны) 2. $AM = A_1M_1$ (как половины равных сторон) 3. $\angle A = \angle A_1$ (так как треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ равны) По первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними) $\triangle ABM = \triangle A_1B_1M_1$. Из равенства этих треугольников следует, что все их соответствующие элементы равны, в том числе и медианы $BM$ и $B_1M_1$. **Что и требовалось доказать.**