Найти $A_1B_1$ по следующим данным: $\alpha \parallel \beta$, $KA_1:KA_2 = 2:3$, $A_2B_2 = 95$.

Дано: Плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны ($\alpha \parallel \beta$). Точки $A_1$ и $B_1$ лежат в плоскости $\alpha$. Точки $A_2$ и $B_2$ лежат в плоскости $\beta$. Прямые $KA_2$ и $KB_2$ пересекают плоскость $\alpha$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно. Отношение длин отрезков $KA_1:KA_2 = 2:3$. Длина отрезка $A_2B_2 = 95$. Найти: Длину отрезка $A_1B_1$. Решение: Поскольку плоскости $\alpha$ и $\beta$ параллельны, а прямые $KA_2$ и $KB_2$ их пересекают, то отрезки $A_1B_1$ и $A_2B_2$ являются основаниями подобных треугольников $\triangle KA_1B_1$ и $\triangle KA_2B_2$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению соответствующих сторон: $$k = \frac{KA_1}{KA_2} = \frac{2}{3}$$ Тогда отношение длин отрезков $A_1B_1$ и $A_2B_2$ также равно коэффициенту подобия: $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = k$$ $$\frac{A_1B_1}{A_2B_2} = \frac{2}{3}$$ Подставим известное значение $A_2B_2 = 95$: $$\frac{A_1B_1}{95} = \frac{2}{3}$$ Чтобы найти $A_1B_1$, умножим обе части уравнения на $95$: $$A_1B_1 = \frac{2}{3} \cdot 95$$ $$A_1B_1 = \frac{190}{3}$$ $$A_1B_1 \approx 63.33$$ **Ответ:** $A_1B_1 = \frac{190}{3}$ или приблизительно $63.33$