Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника, равен $2\sqrt{3}$ см, а радиус окружности, вписанной в него, — 3 см. Найдите: 1) сторону многоугольника; 2) количество сторон многоугольника.

1) Сторона правильного многоугольника $a_n$ связана с радиусом описанной окружности $R$ и радиусом вписанной окружности $r$ следующими формулами: $$r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$$ $$a_n = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$$ У нас даны $R = 2\sqrt{3}$ см и $r = 3$ см. Подставим значения в первую формулу, чтобы найти количество сторон $n$: $$3 = 2\sqrt{3} \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)$$ Разделим обе части на $2\sqrt{3}$: $$\cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right) = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2\cdot3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$ Мы знаем, что $\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Значит, $\frac{180^\circ}{n} = 30^\circ$. Отсюда $n = \frac{180^\circ}{30^\circ} = 6$. 2) Теперь, когда мы знаем, что многоугольник имеет 6 сторон (это правильный шестиугольник), можем найти его сторону $a_n$, используя вторую формулу: $$a_6 = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{6}\right)$$ $$a_6 = 2 \cdot 2\sqrt{3} \sin(30^\circ)$$ Мы знаем, что $\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$. $$a_6 = 4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2}$$ $$a_6 = 2\sqrt{3}$$ **Ответ:** 1) Сторона многоугольника: $2\sqrt{3}$ см 2) Количество сторон многоугольника: 6