Найти длину отрезка BO в трапеции ABCD, если BC = 2 см, BD = AD = 7 см

1. Рассмотрим трапецию $ABCD$ (рис. 3). Из условия задачи дано: $BC = 2$ см $BD = AD = 7$ см Так как $ABCD$ — трапеция, то $BC \parallel AD$. Рассмотрим треугольники $BOC$ и $DOA$. $\angle CBO = \angle ADO$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $BD$) $\angle BCO = \angle DAO$ (как накрест лежащие углы при $BC \parallel AD$ и секущей $AC$) Следовательно, треугольники $BOC$ и $DOA$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{BO}{OD} = \frac{BC}{AD}$$ Подставим известные значения: $$\frac{BO}{OD} = \frac{2}{7}$$ Мы знаем, что $BD = BO + OD = 7$ см. Выразим $OD$ через $BO$: $$OD = BD - BO = 7 - BO$$ Подставим это в отношение: $$\frac{BO}{7 - BO} = \frac{2}{7}$$ Решим уравнение: $7 \cdot BO = 2 \cdot (7 - BO)$ $7BO = 14 - 2BO$ $7BO + 2BO = 14$ $9BO = 14$ $$BO = \frac{14}{9} = 1\frac{5}{9}$$ см. **Ответ: б) $1\frac{5}{9}$ см.** 2. Рассмотрим треугольник $ABC$ (рис. 4). Дано: $\angle FGB = \angle ACB$ $FB = 6$ см $AF = 8$ см $GC = 12$ см $AC = 21$ см Рассмотрим треугольники $FBG$ и $ABC$. $\angle B$ — общий для обоих треугольников. $\angle FGB = \angle ACB$ (дано по условию) Следовательно, треугольники $FBG$ и $ABC$ подобны по двум углам. Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{FB}{AB} = \frac{BG}{BC} = \frac{FG}{AC}$$ Найдем $AB$: $AB = AF + FB = 8 + 6 = 14$ см. Теперь можем найти отношение подобия: $$\frac{FB}{AB} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7}$$ Используем это отношение для нахождения $BG$ и $FG$. Найдем $BG$: $$\frac{BG}{BC} = \frac{3}{7}$$ Мы знаем, что $BC = BG + GC = BG + 12$. Подставим: $$\frac{BG}{BG + 12} = \frac{3}{7}$$ $7BG = 3(BG + 12)$ $7BG = 3BG + 36$ $7BG - 3BG = 36$ $4BG = 36$ $BG = \frac{36}{4} = 9$ см. Найдем $FG$: $$\frac{FG}{AC} = \frac{3}{7}$$ $$\frac{FG}{21} = \frac{3}{7}$$ $7FG = 3 \cdot 21$ $7FG = 63$ $FG = \frac{63}{7} = 9$ см. Теперь найдем периметр треугольника $FBG$: $P_{FBG} = FB + BG + FG = 6 + 9 + 9 = 24$ см. **Ответ: а) 24 см.**