Найдите $AB$, если отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. $BB_1 \perp \alpha$, $AA_1 \perp \alpha$.

Дано: отрезок $AB$ пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. $BB_1 \perp \alpha$, $AA_1 \perp \alpha$. $AA_1 = 3$, $A_1O = 4$, $BB_1 = 5$. Поскольку $BB_1 \perp \alpha$ и $AA_1 \perp \alpha$, то прямые $BB_1$ и $AA_1$ параллельны. Рассмотрим треугольники $\triangle AOA_1$ и $\triangle BOB_1$. Эти треугольники прямоугольные, так как $AA_1 \perp A_1O$ и $BB_1 \perp B_1O$. Углы $\angle AOA_1$ и $\angle BOB_1$ являются вертикальными, значит, они равны. Следовательно, $\triangle AOA_1 \sim \triangle BOB_1$ (по двум углам). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{AO}{BO} = \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{A_1O}{B_1O}$$ Подставим известные значения: $$\frac{AO}{BO} = \frac{3}{5}$$ $$\frac{4}{B_1O} = \frac{3}{5} \Rightarrow B_1O = \frac{4 \cdot 5}{3} = \frac{20}{3}$$ Теперь найдём $AO$ и $BO$. В прямоугольном треугольнике $\triangle AOA_1$: $$AO = \sqrt{AA_1^2 + A_1O^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ В прямоугольном треугольнике $\triangle BOB_1$: $$BO = \sqrt{BB_1^2 + B_1O^2} = \sqrt{5^2 + \left(\frac{20}{3}\right)^2} = \sqrt{25 + \frac{400}{9}} = \sqrt{\frac{225 + 400}{9}} = \sqrt{\frac{625}{9}} = \frac{25}{3}$$ Отрезок $AB$ состоит из отрезков $AO$ и $BO$, так как точка $O$ находится между $A$ и $B$ (она является точкой пересечения отрезка $AB$ с плоскостью): $$AB = AO + BO$$ $$AB = 5 + \frac{25}{3} = \frac{15}{3} + \frac{25}{3} = \frac{40}{3}$$ **Ответ:** $AB = \frac{40}{3}$