Дан отрезок $AB$, который пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Дано, что $BB_1 \perp \alpha$ и $AA_1 \perp \alpha$. Найдите $AB$.

$Дан отрезок $AB$, который пересекает плоскость $\alpha$ в точке $O$. Дано, что $BB_1 \perp \alpha$ и $AA_1 \perp \alpha$. Найдите $AB$.$

Фотография

Ответ ассистента

Треугольники $AA_1O$ и $BB_1O$ подобны по двум углам (прямые углы у $A_1$ и $B_1$, и вертикальные углы при вершине $O$). Из подобия треугольников следует отношение сторон: $$\frac{AO}{OB} = \frac{AA_1}{BB_1} = \frac{A_1O}{OB_1}$$ Подставляем известные значения: $$\frac{AO}{OB} = \frac{3}{5}$$ Также: $$\frac{A_1O}{OB_1} = \frac{3}{5}$$ Нам известно $A_1O = 4$. Тогда: $$\frac{4}{OB_1} = \frac{3}{5}$$ $$3 \cdot OB_1 = 4 \cdot 5$$ $$3 \cdot OB_1 = 20$$ $$OB_1 = \frac{20}{3}$$ Длина отрезка $AB$ складывается из $AO$ и $OB$. Найдём $AO$ и $OB$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1O$: $$AO = \sqrt{AA_1^2 + A_1O^2}$$ $$AO = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ Теперь найдём $OB$ из отношения: $$\frac{AO}{OB} = \frac{3}{5}$$ $$\frac{5}{OB} = \frac{3}{5}$$ $$3 \cdot OB = 5 \cdot 5$$ $$3 \cdot OB = 25$$ $$OB = \frac{25}{3}$$ Наконец, найдём длину отрезка $AB$: $$AB = AO + OB$$ $$AB = 5 + \frac{25}{3} = \frac{15}{3} + \frac{25}{3} = \frac{40}{3}$$ **Ответ:** $\frac{40}{3}$

Задать вопрос История вопросов

Другие решения

Что ещё задавали пользователи