Доказать $AB = AD$ для Рис. 2.108, где дано $\angle 1 = \angle 2$ и $\angle 3 = \angle 4$.

1. Чтобы доказать, что $AB = AD$, рассмотрим треугольники $ABC$ и $ADC$. Дано: $$\angle 1 = \angle 2$$ $$\angle 3 = \angle 4$$ Сторона $AC$ общая для $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае: $$\angle BAC = \angle DAC$$ (это $\angle 1 = \angle 2$) $$\angle BCA = \angle DCA$$ (это $\angle 3 = \angle 4$) Сторона $AC$ общая. Значит, $\triangle ABC = \triangle ADC$. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Сторона $AB$ лежит против угла $\angle BCA$ в $\triangle ABC$, а сторона $AD$ лежит против угла $\angle DCA$ в $\triangle ADC$. Так как $\angle BCA = \angle DCA$, то и стороны, лежащие против этих углов, равны. **Следовательно, $AB = AD$, что и требовалось доказать.** 2. Чтобы доказать, что $\triangle AMO = \triangle OPC$, рассмотрим эти треугольники. Дано: $AB = BC$ $MA = PC$ $\angle AMO = \angle OPC$ Так как $AB = BC$, то $\triangle ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle BAC = \angle BCA$. Теперь рассмотрим $\triangle AMO$ и $\triangle OPC$. У нас есть: 1. $MA = PC$ (дано). 2. $\angle MAO = \angle PCO$ (так как $\angle BAC = \angle BCA$, а эти углы являются их частями). 3. $\angle AMO = \angle OPC$ (дано). По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. В нашем случае: Сторона $MA$ в $\triangle AMO$ равна стороне $PC$ в $\triangle OPC$. Угол $\angle MAO$ в $\triangle AMO$ равен углу $\angle PCO$ в $\triangle OPC$. Угол $\angle AMO$ в $\triangle AMO$ равен углу $\angle OPC$ в $\triangle OPC$. **Следовательно, $\triangle AMO = \triangle OPC$, что и требовалось доказать.**