Дана прямая b и точка B вне её. Постройте перпендикуляр BH к прямой b. Отметьте на прямой b точку K, не совпадающую с H. Сравните длины BH и BK. Какой отрезок короче? Почему?

1. Дана прямая $b$ и точка $B$ вне её. Постройте перпендикуляр $BH$ к прямой $b$. Отметьте на прямой $b$ точку $K$, не совпадающую с $H$. Сравните длины $BH$ и $BK$. Какой отрезок короче? Почему? Допущение: Точка $H$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $b$. * **Сравнение длин:** $BH < BK$ * **Какой отрезок короче?** $BH$ * **Почему?** Потому что перпендикуляр, опущенный из точки на прямую, является кратчайшим расстоянием от этой точки до прямой. 2. Даны две параллельные прямые $p$ и $q$ и точка $A$ между ними. Постройте перпендикуляры из точки $A$ к обеим прямым. Измерьте и сравните их длины. Что вы заметили? * **Построение:** Нужно провести перпендикуляр из точки $A$ к прямой $p$, назовем его $AH_p$, и перпендикуляр из точки $A$ к прямой $q$, назовем его $AH_q$. * **Измерение и сравнение:** Если прямые $p$ и $q$ параллельны, то длины перпендикуляров $AH_p$ и $AH_q$ будут зависеть от расстояния от точки $A$ до каждой из прямых. Если точка $A$ находится точно посередине между параллельными прямыми, то $AH_p = AH_q$. В противном случае, один из перпендикуляров будет короче другого. * **Что заметили?** Если точка $A$ находится равноудаленно от обеих прямых, то перпендикуляры будут равны. Если нет, то нет. Однако, сумма длин этих перпендикуляров $AH_p + AH_q$ будет равна расстоянию между параллельными прямыми $p$ и $q$. Это означает, что $d(p,q) = AH_p + AH_q$.