Выполните умножение: $\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{12}$

1. Выполните умножение: 1) $$\frac{4}{5} \cdot \frac{7}{12} = \frac{4 \cdot 7}{5 \cdot 12} = \frac{1 \cdot 7}{5 \cdot 3} = \frac{7}{15}$$ 2) $$2\frac{1}{7} \cdot 1\frac{3}{25} = \frac{15}{7} \cdot \frac{28}{25} = \frac{15 \cdot 28}{7 \cdot 25} = \frac{3 \cdot 4}{1 \cdot 5} = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5}$$ 3) $$\frac{5}{11} \cdot 33 = \frac{5 \cdot 33}{11} = \frac{5 \cdot 3}{1} = 15$$ 2. Всего кустов роз 24. Красные розы составляют $\frac{5}{12}$ от всех кустов. Чтобы найти количество красных роз, нужно умножить общее количество кустов на эту дробь: $$24 \cdot \frac{5}{12} = \frac{24 \cdot 5}{12} = \frac{2 \cdot 5}{1} = 10$$ **Ответ: 10 кустов красных роз.** 3. Найдите значение выражения: $3\frac{3}{7} \cdot 1\frac{1}{6} - \frac{7}{15} \cdot 1\frac{19}{21}$ 1) $$3\frac{3}{7} \cdot 1\frac{1}{6} = \frac{24}{7} \cdot \frac{7}{6} = \frac{24 \cdot 7}{7 \cdot 6} = \frac{4 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 4$$ 2) $$\frac{7}{15} \cdot 1\frac{19}{21} = \frac{7}{15} \cdot \frac{40}{21} = \frac{7 \cdot 40}{15 \cdot 21} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9}$$ 3) $$4 - \frac{8}{9} = 3\frac{9}{9} - \frac{8}{9} = 3\frac{1}{9}$$ **Ответ: $3\frac{1}{9}$** 4. Высота прямоугольного параллелепипеда равна $6\frac{1}{4}$ см. Длина в $3\frac{1}{5}$ раза больше высоты, а ширина составляет 40% длины. 1) Найдем высоту в виде неправильной дроби: $$H = 6\frac{1}{4} = \frac{25}{4} \text{ см}$$ 2) Найдем длину: $$L = H \cdot 3\frac{1}{5} = \frac{25}{4} \cdot \frac{16}{5} = \frac{25 \cdot 16}{4 \cdot 5} = \frac{5 \cdot 4}{1 \cdot 1} = 20 \text{ см}$$ 3) Найдем ширину (40% от длины): $$W = 0.40 \cdot L = \frac{40}{100} \cdot 20 = \frac{2}{5} \cdot 20 = 8 \text{ см}$$ 4) Вычислим объем параллелепипеда: $$V = L \cdot W \cdot H = 20 \cdot 8 \cdot \frac{25}{4} = 160 \cdot \frac{25}{4} = 40 \cdot 25 = 1000 \text{ см}^3$$ **Ответ: $1000 \text{ см}^3$** 5. Вычислите значение выражения наиболее удобным способом: $2\frac{1}{4} \cdot \frac{13}{19} + 1\frac{13}{19} \cdot \frac{7}{16} - 1\frac{13}{19} \cdot 1\frac{1}{2}$ Заметим, что множитель $\frac{13}{19}$ присутствует в первом слагаемом, а $1\frac{13}{19}$ (что равно $\frac{32}{19}$) присутствует во втором и третьем слагаемых. Перепишем выражение, вынося общие множители: 1) Переведем смешанные дроби в неправильные: $$2\frac{1}{4} = \frac{9}{4}$$ $$1\frac{13}{19} = \frac{32}{19}$$ $$1\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$ 2) Подставим в выражение: $$\frac{9}{4} \cdot \frac{13}{19} + \frac{32}{19} \cdot \frac{7}{16} - \frac{32}{19} \cdot \frac{3}{2}$$ 3) Вынесем общий множитель $\frac{1}{19}$: $$\frac{1}{19} \cdot \left( \frac{9}{4} \cdot 13 + 32 \cdot \frac{7}{16} - 32 \cdot \frac{3}{2} \right)$$ $$\frac{1}{19} \cdot \left( \frac{117}{4} + 2 \cdot 7 - 16 \cdot 3 \right)$$ $$\frac{1}{19} \cdot \left( \frac{117}{4} + 14 - 48 \right)$$ $$\frac{1}{19} \cdot \left( \frac{117}{4} - 34 \right)$$ $$\frac{1}{19} \cdot \left( \frac{117}{4} - \frac{34 \cdot 4}{4} \right)$$ $$\frac{1}{19} \cdot \left( \frac{117 - 136}{4} \right)$$ $$\frac{1}{19} \cdot \left( -\frac{19}{4} \right)$$ $$-\frac{1}{4}$$ **Ответ: $-\frac{1}{4}$** 6. За первый день магазин продал $\frac{11}{27}$ завезенной партии огурцов, за второй — $\frac{5}{8}$ остатка, а за третий — остальные. Допущение: нужно сравнить проданные части огурцов за каждый день. 1) Вся партия огурцов — это 1. За первый день продали: $P_1 = \frac{11}{27}$. Остаток после первого дня: $1 - \frac{11}{27} = \frac{27}{27} - \frac{11}{27} = \frac{16}{27}$. 2) За второй день продали $\frac{5}{8}$ остатка: $P_2 = \frac{5}{8} \cdot \frac{16}{27} = \frac{5 \cdot 16}{8 \cdot 27} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 27} = \frac{10}{27}$. 3) Остаток после второго дня: $\frac{16}{27} - \frac{10}{27} = \frac{6}{27}$. За третий день продали: $P_3 = \frac{6}{27}$. 4) Теперь сравним проданные части за каждый день: $P_1 = \frac{11}{27}$ $P_2 = \frac{10}{27}$ $P_3 = \frac{6}{27}$ Сравнивая дроби с одинаковым знаменателем, большая дробь та, у которой больше числитель. $\frac{11}{27} > \frac{10}{27} > \frac{6}{27}$ Значит, больше всего огурцов было продано в первый день. **Ответ: В первый день.**