При сложении на доске были по ошибке стёрты некоторые цифры. Восстанови их.

12. При сложении на доске были по ошибке стёрты некоторые цифры. Восстанови их. a) $$ \begin{array}{r} 35\boxed{2}78 \\ +4\boxed{3}596 \\ \hline 67874 \\ \hline 89474 \end{array} $$ б) $$ \begin{array}{r} 60\boxed{8}84 \\ +379\boxed{4}5 \\ \hline 44150 \\ \hline 148733 \end{array} $$ в) $$ \begin{array}{r} \boxed{5}728 \\ +7045 \\ \hline 83\boxed{0}5\boxed{0} \\ \hline 821\boxed{2}2 \\ \hline 227165 \end{array} $$ 13. Арифметические ребусы а) Чтобы решить этот ребус, нужно подобрать такие цифры для букв О, Х, А, чтобы сложение было верным. $\_\_\_\_\_\_\_\_$ $\_\_\_\_\_\_\_\_$ $\_\_\_\_\_\_\_\_$ Если $X = 0$, $O = 1$, $A = 9$, то: $$ \begin{array}{r} 101010 \\ + 909090 \\ \hline 1010100 \end{array} $$ Из условия видно, что в последней строке 7 символов, а в предыдущих — 6. Это означает, что при сложении должен быть перенос в следующий разряд. Предположим, что: О = 1 Х = 0 А = 8 Тогда: $$ \begin{array}{r} 101010 \\ + 808080 \\ \hline 909090 \end{array} $$ Это не соответствует последней строке ОХОХОХ, так как здесь должно быть семь символов. Значит, X и O — это не обязательно 0 и 1. Давайте рассмотрим последнюю цифру в ребусе: $0 + A = X$. Это означает, что $A = X$ (если нет переноса из предыдущего разряда). Теперь посмотрим на предпоследнюю цифру: $X + X = O$ (или $X + X = O + 10$ с переносом). Поскольку $X$ и $O$ повторяются, и $X + A = O$ без переноса в первом столбце, то $A$ должно быть 0. Но $X$ и $O$ не могут быть равны $0$, так как они стоят в начале чисел. Допущение: Буквы обозначают разные цифры от 0 до 9, и одинаковые буквы — одинаковые цифры. 1. Из последнего столбца (единиц): $O + A = X$ или $O + A = X + 10$ (если есть перенос). 2. Из предпоследнего столбца (десятков): $X + X = O$ или $X + X = O + 10$ (если есть перенос). 3. Из третьего справа столбца (сотен): $O + A = X$ или $O + A = X + 10$ (плюс возможный перенос из предыдущего столбца). В последней строке ребуса $O X O X O X$ - шесть символов, а не семь, как может показаться из написания. Предположим, что это число $ОХОХОХ$, а не $ОХОХОХО$. Рассмотрим $X + X = O$ в предпоследнем столбце (без переноса из крайнего правого столбца). Тогда $O = 2X$. Из крайнего правого столбца $O + A = X$. Подставим $O = 2X$: $2X + A = X$. Это значит $X + A = 0$. Так как $X$ и $A$ - цифры, то это возможно только если $X = 0$ и $A = 0$. Но $X$ и $A$ должны быть разными цифрами, иначе это не ребус. Значит, должен быть перенос из последнего столбца: $O + A = X + 10$. Тогда $2X + A = X + 10$, отсюда $X + A = 10$. И из второго столбца справа $X + X + 1 = O$ или $X + X + 1 = O + 10$. $2X + 1 = O$ (переноса нет) или $2X + 1 = O + 10$ (перенос есть). Если $2X + 1 = O$, то $O$ нечетное. Если $O = 2X$, то $O$ четное. Рассмотрим вариант с переносом из второго столбца: $2X + 1 = O + 10$. Тогда $X+A=10$ (без переноса из первого столбца). Из первого столбца $O+A=X$ или $O+A=X+10$. Итоговая сумма $ОХОХОХ$ означает, что при сложении $O+A$ не было переноса в 7-й разряд. Из крайнего левого столбца: $O + A = O$, что означает $A = 0$. Тогда: Из предпоследнего (слева) столбца: $X + X = X$, что означает $X = 0$. Но буквы должны быть разными цифрами. Давай попробуем с другой стороны. Обычно в таких ребусах буквы в начале числа не могут быть нулём. $O + A = X ext{ (или } X+10)$ $X + X = O ext{ (или } O+10)$ $O + A = X ext{ (или } X+10)$ $X + X = O ext{ (или } O+10)$ $O + A = X ext{ (или } X+10)$ $X + X = O ext{ (или } O+10)$ Рассмотрим крайний левый столбец: $O + A = O$ (без переноса в следующий разряд) $\implies A = 0$. Теперь, подставляя $A = 0$ в остальные столбцы: $X + X = O$ (возможно, с переносом $X+X+1=O$) $O + 0 = X$ (возможно, с переносом $O+0+1=X$) Если $O + 0 = X$, то $O = X$. Но буквы должны быть разные. Значит, $A$ не может быть $0$, если нет переноса из крайнего левого столбца. Но в последнем числе $ОХОХОХ$ — шесть цифр, значит, перенос не происходит. Допущение: Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Буквы не могут быть нулем, если они стоят в начале числа. Рассмотрим последний столбец (единицы): $O + A = X$ (без переноса) или $O + A = X + 10$ (с переносом $1$). Рассмотрим второй столбец (десятки): $X + X = O$ (без переноса) или $X + X + 1 = O$ (с переносом $1$ от предыдущего) или $X + X = O + 10$ (с переносом $1$ в следующий) или $X + X + 1 = O + 10$ (с переносом $1$ в следующий и $1$ из предыдущего). Поскольку в результате сложения также 6 цифр, то из самого левого столбца ($O+A$) не может быть переноса в следующий разряд. Значит $O+A < 10$. И если $O+A = X$, то $X < 10$. Попробуем найти подходящие цифры методом подбора, учитывая, что $O eq 0, A eq 0, X eq 0$. Если $O+A = X$ (без переноса) И $X+X=O$ (без переноса) $\implies O = 2X$. Тогда $2X+A = X ightarrow X+A=0$. Это возможно только если $X=0, A=0$, но это противоречит условию, что буквы — разные цифры, и не могут быть нулем, если стоят в начале числа. Значит, в столбце единиц должен быть перенос $10$: $O + A = X + 10$. А в столбце десятков: $X + X + 1 = O$ (или $O+10$) Давай попробуем подставить некоторые значения. Если $X=9$, то $X+A=10 ightarrow 9+A=10 ightarrow A=1$. Тогда $O+A=X+10 ightarrow O+1 = 9+10 ightarrow O=18$ (невозможно, $O$ - цифра). Попробуем, чтобы $X+X$ давало перенос. Если $X+X = O+10$, то $O = 2X-10$. Из самого левого столбца: $O+A=X$. ($O$ не может быть $0$). Давай ещё раз пересмотри: $O+A = X$ (или $X+10$) $X+X = O$ (или $O+10$) Предположим, что $A=5, X=6, O=7$. $O+A = 7+5 = 12 = X+10 ightarrow X=2$. Противоречие. Попробуем такой вариант: Из крайнего левого столбца $O+A=O$, значит $A=0$. Из следующего столбца $X+X=X$, значит $X=0$. Это означает, что $A=X=0$, что противоречит правилу о том, что буквы должны быть разными. Либо в ребусе есть перенос, и тогда $O+A = 1X$, но итоговое число имеет 6 разрядов. Похоже, что единственное решение, при котором все буквы разные и не равны нулю в начале числа, а также нет переноса в следующий разряд из крайнего левого столбца, возможно только, если буквы могут быть нулями. Если $A=0$: Тогда из первого столбца справа: $O+0 = X$ (если нет переноса), то $O=X$. Противоречие. Значит, $O+0 = X+10$. Из второго столбца справа $X+X+1 = O$ (если нет переноса) или $X+X+1 = O+10$ (если есть перенос). Рассмотрим $A=0$. Из самого левого столбца $O+0 = O$ (без переноса). Тогда ребус выглядит так: ОХОХО + АХАХА --------- ОХОХОХ Так как последняя строка имеет 6 символов, а не 7, значит, при сложении $О+А$ не происходит перенос в 7-й разряд. Поэтому из самого левого столбца: $O + A = O ightarrow A = 0$. Теперь подставляем $A=0$ во все столбцы. Шестой (крайний левый): $O + 0 = O$. Верно. Пятый: $X + X = X$. Это возможно только если $X = 0$. Тогда $A=0$ и $X=0$. Но буквы должны быть разными цифрами. Этот ребус имеет специфику. Если понимать, что $O X O X O X$ — это именно такая последовательность цифр. Давай попробуем переформулировать условия ребуса, учитывая, что $O, X, A$ — это цифры, и одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы — разные цифры. Буквы $O$ и $A$ не могут быть $0$, так как они стоят в начале числа. Искомые числа: $ОХОХО$ + $АХАХА$ ----------------- $ОХОХОХ$ Последняя цифра в сумме — $Х$, значит $О+А = Х$ (без переноса) или $О+А = 10+Х$ (с переносом $1$). Предпоследняя цифра в сумме — $О$, значит $Х+Х = О$ (без переноса и без переноса из предыдущего разряда) или $Х+Х+1 = О$ (с переносом $1$ из предыдущего) или $Х+Х = 10+О$ (с переносом $1$ в следующий) или $Х+Х+1 = 10+О$ (с переносом $1$ в следующий и $1$ из предыдущего). Рассмотрим крайний левый столбец (самые большие разряды): $О+А = О$ (поскольку результат $ОХОХОХ$ имеет столько же разрядов, сколько и слагаемые, то переноса нет). Это означает, что $А=0$. Если $А=0$, то из предпоследнего слева столбца: $Х+Х = Х$ (поскольку $О+А=О$, значит, в предыдущий разряд переноса не было). Это означает, что $Х=0$. Если $А=0$ и $Х=0$, то все числа будут состоять из нулей, и $О$ не может быть отличной от $0$. И это противоречит условию, что буквы разные. Значит, где-то в предположении есть ошибка или ребус построен так, что допускает $А=0$ или $X=0$. Давай предположим, что $A=0$ разрешено, но $O eq 0$. И $X eq 0$. Если $A=0$: $$ \begin{array}{r} O X O X O \\ + 0 X 0 X 0 \\ \hline O X O X O X \end{array} $$ Из крайнего правого столбца: $O + 0 = X$ или $O + 0 = X + 10$. Если $O=X$, то это противоречие. Значит, $O = X+10$, что невозможно, так как $O$ и $X$ — цифры. Если $A=0$ и нет переноса в крайний левый столбец, то $O+A=O$, отсюда $A=0$. Тогда $X+X = O$ (или $O+10$) и $O+A=X$ (или $X+10$). Из второго справа столбца: $X+X = O$. Из первого справа столбца: $O+A = X$. Подставляя $A=0$: $O=X$. Тогда $X+X=X$, что означает $X=0$. Тогда $A=0, X=0$, что противоречит условию. Значит, должно быть перенос. Если $O+A = X+10$ (перенос 1). Тогда из второго справа столбца: $X+X+1 = O$ (без переноса) или $X+X+1 = O+10$ (с переносом). Из самого левого столбца: $O+A = O ightarrow A=0$. Если $A=0$, тогда из самого правого столбца $O+0 = X$ (без переноса) или $O+0 = X+10$ (с переносом). Если $O=X$, это противоречит. Поэтому $O=X+10$ невозможно. Значит, $A$ не может быть 0. И значит, должен быть перенос в крайний левый столбец. Но в результате 6 символов, а не 7. Возможно, это ребус на умножение, а не на сложение, или есть какая-то хитрость. Если это сложение, и буквы обозначают разные цифры от 0 до 9, а O и A не равны 0. Предположим, что $X$ не может быть 0. Из крайнего левого столбца $O+A = X$. (нет переноса). Из второго столбца справа $X+X = O$ (или $O+10$). Если $X+X = O$, то $O=2X$. Подставляем в $O+A=X$: $2X+A=X ightarrow X+A=0$. Так как $X eq 0$, то это невозможно. Значит, в столбце десятков: $X+X = O+10$. Из крайнего правого столбца: $O+A=X$ (без переноса) или $O+A=X+10$ (с переносом). Если $O+A=X$ (без переноса). Тогда $X+X=O+10$. $O=2X-10$. Подставляем в $O+A=X$: $(2X-10)+A = X ightarrow X+A=10$. Из третьего столбца справа: $O+A = X$ (без переноса). Из четвертого столбца справа: $X+X+1 = O+10$ (с переносом 1 из предыдущего столбца, потому что $X+A=10$). Значит $O = 2X+1-10 = 2X-9$. $X+A=10$. $O=2X-9$. Попробуем найти $X, A, O$ из этих условий. $A = 10-X$. $O = 2X-9$. Так как $O eq 0, A eq 0, X eq 0$ и $O, A, X$ — это цифры от 0 до 9. $A eq 0 ightarrow 10-X eq 0 ightarrow X eq 10$. (Верно, $X$ — цифра). $O eq 0 ightarrow 2X-9 eq 0 ightarrow 2X eq 9 ightarrow X eq 4.5$. (Верно, $X$ — целая цифра). Помним, что $O$ и $X$ не могут быть 0. Если $X=1$: $A=9, O=-7$ (не цифра). Если $X=2$: $A=8, O=-5$ (не цифра). Если $X=3$: $A=7, O=-3$ (не цифра). If $X=4$: $A=6, O=-1$ (не цифра). If $X=5$: $A=5, O=1$. Но $A eq X$. If $X=6$: $A=4, O=3$. Проверим: $O=3, X=6, A=4$. Все цифры разные, не равны нулю. Проверим ребус с $O=3, X=6, A=4$: $36363$ + $46464$ ---------- $82827$ (должно быть $363636$) Это не подходит. Значит, мои предположения о переносах неверны. Рассмотрим внимательно ребус: $O X O X O$ + $A X A X A$ ----------------- $O X O X O X$ Последняя цифра в сумме — $X$. Откуда берется $X$ в крайнем левом разряде? Это означает, что $O+A$ должно давать перенос, который становится $X$. А это невозможно, так как $O+A$ - это максимум $9+8=17$, а $X$ - это одна цифра. Если в результате 6 символов, а не 5 (как в слагаемых), то должен быть перенос из самого левого столбца. Тогда $O+A = 1X$. Где $X$ - это цифра. $O+A = X + 10 imes C_1$ (где $C_1$ - перенос $0$ или $1$). Рассмотрим, что $О, Х, А$ — это цифры $0-9$. $О e 0, A e 0$. Самый правый столбец (единицы): $O + A = X$ (если нет переноса в десятки) или $O + A = 10 + X$ (если есть перенос в десятки) Следующий столбец (десятки): $X + X = O$ (без переносов) или $X + X + 1 = O$ (с переносом из единиц) или $X + X = 10 + O$ (с переносом в сотни) или $X + X + 1 = 10 + O$ (с переносом из единиц и в сотни) Самый левый столбец (сотни тысяч): $O + A = O$ (если нет переноса из десятков тысяч). $\implies A = 0$. Если $A=0$, то $X=0$ из следующего столбца ($X+X=X$). Это приводит к $A=X=0$, что противоречит условию, что буквы разные, и $O e 0$. Поэтому, в самом левом столбце ($O+A$) должен быть перенос в следующий (седьмой) разряд. Но в ответе всего 6 разрядов. Возможно, задача имеет в виду, что $O X O X O X$ - это не новый разряд, а что-то другое. Но если это сложение, то **единственное логичное решение - это $A=0$ и $X=0$. Тогда $O$ может быть любой цифрой, например $O=1$. Но это нарушает правило, что $X$ и $A$ разные, и $X$ не может быть 0, так как стоит в сумме.** Поскольку в решении требуется найти цифры, и исходя из общепринятых правил ребусов: 1. Одинаковые буквы — одинаковые цифры. 2. Разные буквы — разные цифры. 3. Буква в начале числа не может быть 0. Итак, $O eq 0$, $A eq 0$. $X$ может быть $0$, но в данном случае $X$ стоит во второй позиции и в результате $OXOXOX$, где $X$ тоже стоит на второй позиции, значит $X$ может быть $0$. Рассмотрим еще раз: $ОХОХО$ + $АХАХА$ ----------------- $ОХОХОХ$ Самый правый столбец: $О + А = X$ (без переноса) или $О + А = X+10$ (с переносом 1). Самый левый столбец: $О + А = О$ (без переноса) или $О + А + 1 = О$ (с переносом 1) или $О + А = 1О$ (если $10$ это перенос). Если $O+A=O$, то $A=0$. Если $A=0$, то из предпоследнего левого столбца $X+X=X$, значит $X=0$. Если $A=0, X=0$, то числа будут $O0O0O + 00000 = O0O0O$. Но результат $O0O0O0$. Это противоречие. Значит, $O+A$ не может быть равно $O$. Значит, должен быть перенос из предыдущего разряда. Самый левый столбец: $O+A+C = OX$, где $C$ - это перенос из предыдущего разряда. Если $C=1$, то $O+A+1=O imes 10 + X$. Это не подходит. Тогда ребус должен быть решен методом подбора. Если $X=9$, $O=8$, $A=1$. $89898$ + $19191$ ---------- $109089$ Это не $898989$. Есть один известный ребус $SEND + MORE = MONEY$. Здесь же $ОХОХО + АХАХА = ОХОХОХ$. Это означает, что $О+А$ дает перенос 1 в следующий разряд, и этот перенос, вместе с $О$ становится $ОХ$. То есть $О+А=Х$ (с переносом в следующий разряд). $О+А = X+10$. И из самого левого столбца $O+A=X$ (так как $X$ - это новая цифра в ответе). Это противоречие. Возможно, ребус означает, что $ОХОХОХ$ — это просто последовательность букв, а не новое число с семью цифрами. Но тогда ответ $ОХОХОХ$ должен быть таким же, как $ОХОХО + АХАХА$. Если $X=0$: $О0О0О$ + $А0А0А$ ----------------- $О0О0О0$ Из последнего столбца: $О+А = 0$ (невозможно, $О,А e 0$) или $О+А = 10$. Если $О+А = 10$. Например $О=1, А=9$. $10101$ + $90909$ ---------- $101010$ В этом случае $О=1, Х=0, А=9$. Все условия выполнены. $О e 0, A e 0$. $X$ может быть $0$. **Ответ:** 12. а) $$\begin{array}{r} 35\boxed{2}78 \\ +4\boxed{3}596 \\ \hline 67874 \\ \hline 89474 \end{array} $$ б) $$\begin{array}{r} 60\boxed{8}84 \\ +379\boxed{4}5 \\ \hline 44150 \\ \hline 148733 \end{array} $$ в) $$\begin{array}{r} \boxed{5}728 \\ +7045 \\ \hline 83\boxed{0}5\boxed{0} \\ \hline 821\boxed{2}2 \\ \hline 227165 \end{array} $$ 13. а) **Допущение**: В ребусе $ОХОХО + АХАХА = ОХОХОХ$ буквы обозначают разные цифры. $О$ и $А$ не могут быть $0$, так как стоят в начале числа. $Х$ может быть $0$. Если $X = 0$, то: Из крайнего правого столбца: $O + A = 0$ (это невозможно, так как $O, A \neq 0$) или $O + A = 10$. При этом $X$ в результате равен $0$. Если $O + A = 10$. Во втором справа столбце: $X + X + 1 = O$. Так как $X=0$, то $0 + 0 + 1 = O \implies O = 1$. Теперь, зная $O=1$ и $O+A=10$, найдем $A$: $1+A=10 \implies A=9$. Проверим эти значения: $O=1, X=0, A=9$. $10101$ + $90909$ ---------- $101010$ Получившийся ответ $101010$ соответствует $ОХОХОХ$. **Ответ: $O=1, X=0, A=9$.**